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高次多项式因式分解的几种方法 广东顺德勒流职业中学 廖列宏 因式分解在中学数学中占有一个比较重要的位置,但大部分同学对高次多项式的因式分解却比较陌生.这里,我们对一些高次多项式的因式分解的方法作分析介绍. 1 高次多项式因式分解的一般方法 首先,先介绍下面两个定理. 定理1 设111()nnnnfxaxaxax??????L 0a?是一个整系数多项式,如果有理数/vu是它的一个根,其中u与v互素,则|nua,0|va.特别地,当1na?时,()fx的有理根都是整数,且为常数项0a的因数. 证明 因为/vu是()fx的根,故uxv?整除()fx,设 1110()()()nnfxuxvbxbxb???????L,① 则比较两端n次项系数和常数项,得: 100,()nnaubavb????. ② 由于()fx与uxv?都是整系数多项式,而ux v?又是本原的,故可知11nnbx????L1bx+0b是一个整系数多项式,因此1nb?与0b都是整数,于是由②知:|nua,0|va. 这个定理说明,欲求整系数多项式()fx的有理根,可先求其常数项0a的全部因数(包括负因数),设为12,,,svvvL;再求出首项系数na的全部因数(也包括负因数),设为12,,,uuL tu,则如果()fx有有理根,它的有理根必在所有有理数/(1,2,,;1,ijvuisj??L 2,,)tL之中.但是这些有理数中究竟哪些是()fx的根,还需要通过综合除法来逐个进行检验.但这样太麻烦,会浪费太多的时间,为了更简便地判断它的根,我们再引出下面一个定理. 定理2 若既约分数/vu是整系数多项式()fx的根,则|(1),|(1)uvfuvf???. 证明 因为/vu是()fx的根,由定理1中的①知有: 110(1)()()nfuvbbb??????L, (1)f? 11110()[(1)(1))]nnuvbbb??????????L. 但由于()fx是整系数,(1)f与(1)f?都是整数,又110,,,nbbb?L也是整数,故: |(1)uvf?,|(1)uvf??. 下面,我们用上面两个定理来对一些多项式进行因式分解. 例1 把326552xxx???因式分解. 解 我们先把它转化为求32()65fxxx?? 52x??的有理根.由定理1知:()fx的常数项2?的全部因数是:1,2±±;其中首项系数6的全部因数是:1,2,3,6±±±±.因此要进行检验的有理数为:1,2,1/2,1/3,2/3,1/6±±±±±±. 但易知(1)4f?,(1)18f??,故1±都不是()fx的根,再由定理2,由于: 12|??(1),f31|?(1),f?32|?(1),f? 32|??(1),f16|?(1),f?61|??(1),f 故2,1/3,2/3,1/6?±±都不是()fx的根, 因此剩下只需检验2,1/2,1/3?这三个数了.由综合除法易知,只有1/2是它的根. ∴326552xxx??? 2(1/2)(624)xxx???? 2(21)(32)xxx????. 例2 把432471052xxxx????因式分 解. 解 先把它转化成求43()47fxxx??? 21052xx??的有理根. ∵()fx的常数项和首项系数的全部因数分别为:1,2±±与1,2,4±±±.需要检验的有理数为:1,2,1/2,1/4±±±±. 由于(1)0f??故1?是()fx的根,且易知, 32()(1)(4372)fxxxxx????? 按照同样方法可求43()4372gxxxx????的有理根,易知()gx的有理根为:1/4,由综合整除法: 144 3 7 2? 1 1 2 4 4 8 0 ·15·