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专题二：平行线的性质与判定综合
1．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M，P，MN、PQ分别平分∠AME和∠DPF，
（1）试说明：∠AMN＝∠DPQ；
（2）试说明：MN∥PQ．
2．（增城区期中）如图，已知AD是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°
（1）AD与EF平行吗？为什么？
（2）∠3与∠DAC相等吗？为什么？
3．（端州区期末）如图，已知四边形ABCD，AB∥CD，点E是BC延长线上一点，连接AC、AE，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
证明：
（1）∠BAE＝∠DAC；
（2）∠3＝∠BAE；
（3）AD∥BE．
4．（九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；
（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
专题二：平行线的性质与判定综合
1．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AME＝∠CPE，
又∵∠CPE＝∠DPF（对顶角相等），
∴∠AME＝∠DPF，
∵MN、PQ分别平分∠AME和∠DPF，
∴∠AMN＝∠DPQ．
（2）∵AB∥CD，
∴∠AMP＝∠DPM，
∴∠AMP+∠AMN＝∠DPM+∠DPQ，即∠NMP＝∠QPM，
∴MN∥PQ（内错角相等，两直线平行）．
2．解：（1）AD∥EF，
理由是：∵∠1＝∠2，
∴AD∥EF；
（2）∠3＝∠DAC，
理由是：∵AD∥EF，
∴∠4+∠BAD＝180°，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝∠BAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC．
3．证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝∠DAC；
（2）∵AB∥CD，
∴∠4＝∠BAE，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠BAE；
（3）∵∠3＝∠BAE，∠BAE＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC，
∴AD∥BE．
4．（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
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