高中数学5.3 排列组合（两个计数原理）教案.doc

5.3 排列组合（两个计数原理） 新课程考试要求 1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会解决简单的计数问题. 核心素养 本节涉及数学运算、数学建模、数学抽象等核心数学素养. 高考预测 （1）考查两个计数原理； （2）考查排列组合问题、概率计算中两个计数原理的应用． （3）两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常与排列组合问题或概率计算问题综合考查． 【知识清单】 1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念 一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法. 2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念 一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法. 3. 两个原理的区别： （1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的. （2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事. 4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件. 【考点分类剖析】 考点一 ：分类加法计数原理 【典例1】（2021·江西·横峰中学高二期中（理））由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ） A．15 B．12 C．10 D．5 【答案】D 【分析】 首先根据题意分成一位偶数，二位偶数和三位偶数三类，再利用分类加法原理求解即可. 【详解】 分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个； 第二类组成两位整数，其中偶数有12和32，共2个； 第三类组成三位整数，其中偶数有132和312，共2个． 由分类加法计数原理知共有偶数5个． 故选：D 【典例2】（2021·甘肃·静宁县第一中学高二月考（理））如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（ ）种. A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【分析】 根据题意分脱落1个、2个、3个和4个，进而列举出所有情况得到答案. 【详解】 解：按照可能脱落的个数分类讨论， 若脱落1个，则有（1），（4）两种情况， 若脱落2个，则有，，，，，共6种情况， 若脱落3个，则有，，，共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 综上共有种情况. 故选：C. 【规律方法】 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置． (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准． (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复． (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏． 【变式探究】 1.（2021·全国·高二课时练习）用1，2，3这3个数字可写出没有重复数字的整数有________个． 【答案】15 【分析】 按一位整数、两位整数与三位整数分类讨论即可得到结果． 【详解】 分三类： 第一类为一位整数，有3个； 第二类为两位整数，有12，13，21，23，31，32，共6个； 第三类为三位整数，有123，132，213，231，312，321，共6个． ∴可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个)． 故答案为：15 2.（2020·北京市第三十一中学高三期中）某公园划船收费标准如下： 船型 两人船 （限乘2人） 四人船 （限乘4人） 六人船 （限乘6人） 每船租金 （元/小时） 90 100 130 某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为___________元，租船的总费用共有__________种可能． 【答案】360 10 【解析】 由题意，当租两人船时，租金为元， 当租四人船时，租金为元， 当租一条两人船、两条四人船、一条六人船时，租金为元， 当租两条两人船、三条四人船时，租金为元， 当租两条两人船、两条六人船时，租金为元， 当租三条两人船、一条四人船、一条六人船时，租金为元， 当租四条两人船、两条四人船时，租金为元， 当租五条两人船、一条六人船时，租金为元， 当租六条两人船、一条四人船时，租金为元， 当租一条四人船、两条六人船时，租金为元. 所以租船