张正友标定法.docx

标定法 解读论文： [ 1]Zhang, Zhengyou. A Flexible New Technique for Camera Calibration.[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence, 2000. 欧式空间到齐次坐标1. 相机内外参表述过程概述2. (1) 世界坐标系到摄像机坐标系 (2) 摄像机坐标系到图像物理坐标系 (3) 图像物理坐标系到图像像素坐标系 3.直接线性标定法 4.标定求解过程 (1) 推导引出 (2) 单应性矩阵求解 (3) 最大似然估计 (4) 径向畸变估计 6.参考资料 1.欧式空间到齐次坐标 对于2D点 ，用表示 ，对于3D点 ，用表示 ，这是在欧式空间下的表 示 ，但在我们日常生活中 ，发现平行线在远处会汇聚于一点 ，也就是所说的 消失点 ，即平行直线在远 处会汇聚于一点才更符合人眼的观察。所以这里不能直接使用欧式空间 ，在《解析几何》中 ，我们使 用射影空间对欧式空间进行扩展 ，扩展到齐次坐标系下进行计算 ，在齐次坐标系下 ，2D点变为了 ,同理 ，3D点变为 。 2.相机内外参表述过程概述 摄像机标定主要是建立像素坐标系和世界坐标系的一一映射的关系的 ，可以看作是经过三次坐标 变换得到的。在张正友的论文里 ，其构造了一个表达式用来描述这个关系 ，即式2. 1： 式2.1 张正友论文里的表达式 在该表达式中 ，一共涉及到四种坐标系和三次坐标系变换 ，第一个是世界坐标系 ，也就是我们真 实的物理世界所对应的坐标系；第二个是摄像机坐标系 ，其原点为相机的光心 ，Z轴是相机的光轴； 第三个是图像物理坐标系 ，即建立以相机光轴与图像平面交点为原点 (一般是图像中心) ，以物理单 位 (例如毫米) 为单位表示的平面指教坐标系描述该点在图像中物理位置的坐标系；第四个是图像像 素坐标系 ，在计算机中以离散化的像素形式表示 ，图像中每个像素点的亮度值或灰度值以数组的形式 存储在计算机中 ，以图像左上角为原点 ，建立以像素为单位的平面指教坐标系 ，每个像素点在该坐标 系下的坐标值表示了该点在i图像平面中的图像左上角像素点的相对位置。 ( 1) 世界坐标系到摄像机坐标系 从世界坐标系到摄像机坐标系 ，可以看成坐标系的平移旋转过程 ，在数学上可表示成为一个正交 旋转矩阵R和平移矢量T ，如式2.2所表示： 式2.2 将世界坐标系进行旋转平移 求解R和T就是相机标定里面所说的求解相机外参 ，旋转正交矩阵R表示摄像机的姿态 ，可用欧拉 角或者四元数表示 ，平移向量则表示两个坐标系之间的相对位置 ，旋转正交矩阵R表示将式2.2改写 到齐次坐标系下 ，即通过射影 ，则有下式2.3： 式2.3 齐次坐标系下的向量表示 即式2.4 式2.4 齐次坐标系下的矩阵表示 采用欧拉角表示摄像机外部姿态 ，欧拉角如下图2. 1所示： 图2.1 欧拉角示意图 基本的图像旋转矩阵表示图像绕着原点顺时针角可表示成下式2.5 ，其逆矩阵表示逆时针 旋转： 式2.5 旋转的矩阵表示 于是 ，引入欧拉角后 ，结合式2.4和式2.5 ，则有式2.6： 式2.6 旋转矩阵的推导 式2.6中R矩阵应为下式2.7: 式2.7 旋转矩阵的推导表达 式2.7不唯一 ，只需要遵守每行元素平方和为1即可。 , , , , ,六个参数统称为摄像机的外部 参数 ，确定摄像机光轴在世界坐标系中的空间位置。 (2) 摄像机坐标系到图像物理坐标系 成像模式如下图2.2所示： 图2.2 重合模型 记图像坐标为 ,相机坐标系空间中的一点为 ， 由相似三角形 ，则有下 式2.8 式2.8 重合模型点关系的推导 因此 ，则有式2.9表达和的关系， 由于和 在数量级上的影响远远小于 ，故可以进行 的近似处理： 式2.9 重合模型点关系的约等 式2.9转到齐次坐标系下描述则有式2. 10 ，这里通常进行的处理： 式2.12 齐次坐标系下的式2.11表达 式2.10 齐次坐标系下的式2.9表达 (3) 图像物理坐标系到图像像素坐标系 如下图2.3所示： 图2.3 物理到像素转化 对于坐标上任意一点 ，其在像素坐标系下的坐标点为 ，对应在物理坐标系坐标为 ,物理坐标系原点在像素坐标系中坐标为 ，、分别代表一个像素在x和y 方向上的物理尺寸 ，两个坐标之间的关系如下式2. 11： 式2.11 物理尺寸转