第四章根轨迹法.pptVIP

2）分支数和对称性 根轨迹一定对称于实轴，并且有 n支。 特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于实轴。 因为根轨迹是闭环特征方程的根，无论K如何变化特征方程始终有n个根，即使出现重根，当K从零到无穷大连续变化时重根不可能始终为重根，所以根轨迹一定有n支。 第29页，共51页，编辑于2022年，星期二 3）实轴上的根轨迹 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对于其中任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。 例 4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函数为 其中, τ＞T。 试大致绘出其根轨迹。 第30页，共51页，编辑于2022年，星期二 解 首先将开环传递函数化为如下标准形式: 式中, k=τK/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T和一个开环零点z1=-1/τ, 所以系统的根轨迹有两条分支。 当k=0时, 两条根轨迹从开环极点开始; 当k→∞时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另(2-1)=1条趋于无穷远处。 第31页，共51页，编辑于2022年，星期二 根据开环零极点的位置, 可知实轴上的(z1,p1)和(-∞, p2)区间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图如图4-3所示, 其中“×”表示开环极点, “○”表示开环零点。 例 4-1 根轨迹图 第32页，共51页，编辑于2022年，星期二 4）根轨迹的分离点 当K从零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。 基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标λ，是下列代数方程的解： 第33页，共51页，编辑于2022年，星期二 必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。 第34页，共51页，编辑于2022年，星期二 5）渐近线 当nm时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远； 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为： 所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为 第35页，共51页，编辑于2022年，星期二 例 4-2 已知一四阶系统的特征方程为 试大致绘制其根轨迹。 解 先在复平面上标出开环零极点的位置, 极点用“×”表示, 零点用“○”表示, 并根据实轴上根轨迹的确定方法绘制系统在实轴上的根轨迹。  第36页，共51页，编辑于2022年，星期二 第1页，共51页，编辑于2022年，星期二 内 容 提 要 根轨迹是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。 讲述根轨迹的基本概念，根轨迹的绘制，系统性能的分析。 第2页，共51页，编辑于2022年，星期二 控制系统的稳定性由闭环极点唯一确定，而过渡过程的特性由闭环极点、闭环零点共同决定。 在设计控制系统时，希望通过调节某些参数使变闭环极点、零点处在所需的位置上。 前 言 第3页，共51页，编辑于2022年，星期二 当特征方程阶次较高时，计算相当麻烦，而且不能看出系统参数变化对闭环极点分布影响的趋势，给分析设计控制系统带来不便。 根轨迹法—伊凡思提出的一种求取闭环系统特征根的图解法。 第4页，共51页，编辑于2022年，星期二 根轨迹法是在已知开环系统的极点、零点分布的基础上研究一个或某些系统参数变化时，闭环系统极点的分布如何变化的。 应用根轨迹法，只需进行简单计算就可得知系统某些参数变化对闭环极点的影响趋势。 第5页，共51页，编辑于2022年，星期二 图4-1 反馈控制系统 §4.1 根轨迹的基本概念 4.1.1? 什么是根轨迹？ 第6页，共51页，编辑于2022年，星期二  考虑图4-1所示负反馈控制系统，设其开环传递函数为： 则该系统的闭环特征方程为： 当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点S在复平面上画出的根轨迹如图4-2所示。 第7页，共51页，编辑于2022年，星期二 图4-2 根轨迹图 第8页，共51页，编辑于2022年，星期二 从根轨迹图可以看到：当0K0.385时三个闭环极点都是负实数; 当K0.385时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0K6闭环系统一定稳定。 第9页，共51页，编辑于2022年，星期二 一但