第四章有限差分方法离散方程.pptVIP

在边界上 如果在边界上满足稳定条件，则整个计算 过程都是稳定的。 d c → 第30页，共49页，编辑于2022年，星期二 第31页，共49页，编辑于2022年，星期二 差分方程稳定的必要充分条件： 这种方法对一维、二维的问题都适用。是 一种普遍方法。 第32页，共49页，编辑于2022年，星期二 5 守恒性 物理概念：如果对一个差分方程在定义域 的任一有限空间内作求和运算（相当于连续问题中对微分方程积分），所得的表达式满足该区域上物理量守恒的关系时，称差分格式具有守恒性。 第33页，共49页，编辑于2022年，星期二 在Δt时间间隔内流入与流出某一区域中的通量之差等于该时间间隔中该区域内的Φ增量。 第34页，共49页，编辑于2022年，星期二 如何控制守恒性 从控制容积积分法建立差分方程的角度看，满足下列两个条件时差分格式具有守恒性： 1）控制方程守恒型的。 2）在同一界面上各物理量（Φ及有关物性）及Φ的一阶导数是连续的。 所谓连续，这里指的是从界面两侧的两个控制容积来写出的该界面的值是相等的。 第35页，共49页，编辑于2022年，星期二 第1页，共49页，编辑于2022年，星期二 1 基本概念 在实际问题中，我们所关心的是因变量在空间若干特定位置的数值。  将因变量在给定点的数值直接作为未知数系数，并求解这些数值，作为满足实际需要的解。 第2页，共49页，编辑于2022年，星期二 离散方法比较 项目 有限差分法 有限元法 普方法 试函数 程序难易程度 程序灵活性 精确性 计算效率 适宜的方程 主要优点 主要缺点 局部近似 很好 好 差 好 各类型 经济、程序简单 较难推广到高阶 局部近似 好 很好 好 好 椭圆型 灵活性好 不经济 总体近似 差 差 很好 很好 椭圆型 精度高 不灵活 第3页，共49页，编辑于2022年，星期二 有限差分的概念 在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下： 　 （1）区域离散化 （2）近似替代 （3）逼近求解 第4页，共49页，编辑于2022年，星期二 2 差分的基本形式及精度 用差商代替微分方程中的导数。 以空间导数 为例，微分中心 为（n,j） 向前差分 向后差分 中心差分 第5页，共49页，编辑于2022年，星期二 上述几种差分形式可通过Taylor级数展开的方法，得到前差分和后差分具有一阶精度; 中心差分具有二阶精度。 第6页，共49页，编辑于2022年，星期二 3 显式差分与隐式差分 显式格式 以时间步差——空间中心差对上式离散 则 因为nΔt时刻的Γ值为已知，可用上式直接计算n+1时刻的Γ值。 扩散方程 第7页，共49页，编辑于2022年，星期二 隐式格式 以时间步差——空间在（n+1）层中心差时对扩散方程离散。 未知函数不可能通过上式由已知值直接求解，它必须求解线性方程组才能求出。此为隐式格式。 第8页，共49页，编辑于2022年，星期二 4 有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性 概念：从偏微分方程建立差分方程时，总是要求τ→0，h →0时差分方程与微分方 程充分接近。 作用：研究差分方程与微分方程的关系。 分类：有条件相容和无条件相容 有限差分格式的相容性 第9页，共49页，编辑于2022年，星期二 以扩散方程为例： 当时间步差——空间中心差得差分方程为 若以Taylor级数展开扩散方得： 第10页，共49页，编辑于2022年，星期二 类似于导数的差分形式的截断误差，扩散方程的差分形式的截断误差为o(Δt,Δx2)。 如果 Δx，Δt →0时，截断误差o(Δt, Δx2)→0，则称差分方程与原微分方程是相的。 当Δx，Δt 以任何形式→0时， o(Δt, Δx2) →0，则称无条件相容。 当Δx，Δt 以某种方式→0时， o(Δt, Δx2) →0，则称有条件相容。 第11页，共49页，编辑于2022年，星期二 有限差分格式的收敛性 概念：指差分方程的解，当Δx，Δt →0时是否逼近原始微分方程的真解。 作用：研究差分方程的解是否逼近真解的问题。 第12页，共49页，编辑于2022年，星期二 有限差分格式的稳定性