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专题4.4
【重点题型归类】
【题型1 对数函数概念运用】
【考点2 与对数函数有关的函数图象识别】
【题型3 对数式的大小比较】
【题型4 对数函数定义域】
【考点5 对数函数图象过定点问题】
【题型6 解对数不等式】
【题型7 复合函数的单调性问题】
【题型8 与对数函数有关的值域问题】
【题型9 综合问题】
【题型10 反函数】
【知识点框架梳理】
1.对数函数的定义
(1)对数函数的定义:一般地,函数y=logax(a0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+
).
(2)判断一个函数是对数函数的依据:
①形如y=logax;②底数a满足a0,且a≠1;③真数是x;④定义域为(0,+).
例如:y=是对数函数,而y=(x+1),y=都不是对数函数.
2.两种特殊的对数函数
(1)常用对数函数:以10为底的对数函数.
(2)自然对数函数:以无理数e为底的对数函数.
3.对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象与性质列表如下:
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域
(0,+∞)
值域
R
过定点
过定点(1,0),即x=1时,y=0
函数值的变化
当0<x<1时,y<0;
当x>1时,y>0
当0<x<1时,y>0;
当x>1时,y<0
单调性
是(0,+∞)上的增函数
是(0,+∞)上的减函数
性质理解:
(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.
当a1时,对数函数的图象“上升”;
当0a1时,对数函数的图象“下降”.
(2)函数y=logax与y= (a0,且a≠1)的图象关于x轴对称.
(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低:
无论是a1还是0a1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
①上下比较:在直线x=1的右侧,a1时,a越大,图象越靠近x轴;0a1时,a越小,图象越靠近x轴;
②左右比较:比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
4.反函数
(1)对数函数y=logax(a0,且a≠1)与指数函数y=ax(a0,且a≠1)互为反函数。
(2)①互为反函数的两个函数的图像关于直线对称;②若点在图像上,则点必在其反函数图像上,反之也成立。
(3)互为反函数的函数具有相同的单调性。
【经典例题解析】
【题型1 对数函数概念运用】
【方法点拨】
判断一个函数是对数函数的方法
【例1】下列函数表达式中,是对数函数的有( )
①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=ln x;⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变式1-1】已知下列函数:
①;②;③;④
其中是对数函数的是 。
【变式1-2】下列函数中,是对数函数的个数为( )
①y=logax2(a>0,且a≠1);②y=log2x﹣1;③y=2log8x;④y=logxa(x>0,且x≠1);⑤y=log5x;⑥y=logax(a>0,a≠1)
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点2 与对数函数有关的函数图象识别】
【方法点拨】
(1)平移变换
①将函数的图像向左平移个单位,得到函数的图像;
②将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像;
③将函数的图像向上平移个单位,得到函数的图像;
④将函数的图像向下平移个单位,得到函数的图像。
(2)对称变换
①函数的图像与函数的图像关于轴对称;
②函数的图像与函数的图像关于轴对称;
③函数的图像与函数的图像关于原点对称;
④函数的图像是函数在轴右方的图像不变,把轴左方的图像去掉,并把轴右方图像翻折到轴左方;
⑤函数的图像是函数在轴上方的图像不变,把轴下方的图像翻折到轴上方;
⑥函数的图像是关于直线对称的轴对称图形。
(3)比较底数大小的方法
作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.(对于底数这类对数,谁底大,谁就越偏向坐标轴;对于底数这类对数,谁底母大,谁就越偏向坐标轴)
【例2-1】如图,曲线C1,C2,C3,C4分别对应函数y=loga1x,y=loga2x,y=loga3x,y=loga4x的图象,则( )
A.a4a31a2a10 B.a3a41a1a20 C.a2a11a4a30 D.a1a21a3a40
【例2-2】已知a>0,b>0,且ab=1,a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=﹣logbx在同一坐标系中的图象可能是( )
A.B.C. D.
【例2-3】作函数y=
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