常微分方程模拟题.docx

浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 模拟试题 1 一、填空题: (每小题 2 分,共 8 分) 方程 dy ? p(x) y ? Q( x) ? 0 的通解是 ① ; dx M (x, y)dx ? N (x, y)dy ? 0 是全微分方程 (恰当方程)的充要条件 ② ; 方程 d 4 y dt 4 2 d 3 y dt3 5 d 2 y dt 2 ? 0 的通解是 ③ ; 方程 y ? 2 y ? y ? xex 的特解可设为 ④ . 参考答案 o 1. y ? e?? P( x)dx [? ?Q(x)e?P( x)dxdx ? C] 2. ?M  ? ?N o 3. y ? C 1  C t ? C 2 3  e?t cos2 t ? C 4 ?y ?x e?t sin 2t 4. y ? x2 ( Ax ? B)ex 二、是非判断题: (每小题 2 分,共 12 分) 如果 X ? ?(t) ? i? (t)是微分方程组 dX ? A(t) X ? b(t) 的复值解 dt (这里? (t) 、? (t) 、b(t) 都是实向量函数, A(t) 是实矩阵函数), 那么 X ?? (t) 是微分方程组 dX ? A(t) X ? b(t) 的解; dt 方 程 d 2 y dx2 ? a2 y ? 0 ( a 是 实 数 ) 的 通 解 是 y ? C 1 cos(x) ? C 2 sin(x) ; 如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组dX ? f ( X ) 其中 dt f ( X ) ? 0 ）的全导数 dV 定正,那么这个方程组的零解渐近稳定; dt 方程 y ? a(x) y ? b(x) y ? c( x)(其中 a(x),b(x),c(x)连续)可 以有三个线性无关的解; 如果?(t) 、?(t) 均为方程组 dX ? A(t) X 的基解矩阵,那么必 dt y存在可逆常数矩阵C 使得?(t) ? ?(t)C 成立; y 方程 dy =2 dx 满足初始条件:x=0 时 y=0 的解只有y=0 . 参考答案 o 1. ×, 2. ×, 3. √, 4. √, 5. √, 6. ×. 三、(24 分)求解下列各方程: dy = 1 ? y 2 ; 2. dy = 1 ; dx xy ? x3 y dx xy ? x3 y 3 3. dy ? y ? exy; 4. x ? dy ?2 ? 2 y dy ? x ? 0 . dx x ? dx ? dx 参考答案 1.  dy =  1 ? y 2  ? ydy ? dx ? ? ? d ( y2 ) ? d (x2 ) o dx xy ? x3 y 1? y2 x(1? x2 ) 1? y2 x2 (1? x2 ) ? log(1? y2 ) ? log x2 ? C ? 1? y2 ? C x 2 x?2 ? y2? 1? x2 ? 通 解 为 ( 1? y2 ) ?( 1x2 ? x 2 ?y2 ; C 1 1? x2 ? C) x2 或 者 写 成 1 o 2. dy = 1 ? dx = xy ? x3 y3 dx ?x?3 ? = x?2 y ? y3 dx d (x?2 ) = xy ? x3 y 3 ? dy dy ? ?2x dy 2 y ? 2 y3 e? y2 [(1? y2 )ey2 ? x?2 ? C] , ? e??2 ydy [? ?2 y3e2 ydydy ? C] = e? y2 [? ?2 y3ey2 dy ? C] = 即,通解为x?2 ? (1? y2 ) ? Ce? y2 ; o 3. dy ? y ? exy ,设xy ? u ,则u ? y ? xy = y ? x(eu ? y ) = xeu, dx x x 所 以 e ?u du ? xdx ? ?e ?u ? ? C x22 x2 , 即 得 通 解 ?e? xy ? x2 ? C ; 2 o 4. x( dy )2-2y( dy )+x=0 ,设 dy ? p ,则 y ? x( p ? ) ,两边 dx dx dx 2 2 p 关于x 求导得 p ? p ? 1 ? x( 1 ? 1 ) p 2 2 p 2 2 p2 ? p2 ?1 ? 0 或 xp ? p . 由xp ? p 得 p ? Cx , 所以通解是 y ? C x2 ? 1 ,由 p ? ?1得奇解 p ? ? x . 2 2C 四、(20 分)求下列各方程的通解: 1.