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近世代数基本概念 第1页，共22页，编辑于2022年，星期三 第一章 基本概念 近世代数的主要内容是研究所谓代数系统,即带有运算的集合。近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近半个世纪以来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。 在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。为了完整起见,有些不得不有所重复。 第2页，共22页，编辑于2022年，星期三 §1.集合 §2.映射 §3.代数运算 §4.结合律 §5.交换律 §6.分配律 §7.一一映射、变换 §8.同态 §9.同构、自同构 §10.等价关系与集合的分类 第一章 基本概念 第3页，共22页，编辑于2022年，星期三 §1.集合 集合:若干个固定事物的全体.它用大写字母 A,B,C, …来表示。 元素:组成一个集合的事物.它用小写字母 a,b,c, …来表示。如A={a,b,c, …} 集合与元素的关系：若a是A的一个元素，则说a属于A，或说Ａ包含a，记为 ;若a不属于A,或说A不包含a,记为 . 空集合:一个没有元素的集合. 子集:若集合B的每一个元素都属于集合A,则说B是A的子集.记为 ;否则,B不是A的子集. 第4页，共22页，编辑于2022年，星期三 空集合是任何集合的子集. 真子集:若B是A的子集,且至少有一个A的元素不属于B, 则说B是A的真子集;否则,B不是A的真子集. 集合相等: 若 ,则说a 是A和B共同元: A和B的交集: §1.集合 第5页，共22页，编辑于2022年，星期三 并集 集合的积 例1 , 则 , 则 空集合. §1.集合 第6页，共22页，编辑于2022年，星期三 §2.映射 映射: 第7页，共22页，编辑于2022年，星期三 例1 例2 A={东,南}, B={南}, D={高,低}. 例3 A=D=R. §2.映射 第8页，共22页，编辑于2022年，星期三 映射定义要注意以下几点: 1.集合 可以相同; 的次序不能掉换; 映射一定要替每一个元规定一个象; 一个元只能有惟一的象; 所有的象都必须是D的元. 相同映射: §2.映射 第9页，共22页，编辑于2022年，星期三 §3.代数运算 一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算.代数运算是一种特殊的映射,用○表示. 例1.A={所有整数} , B={所有不等于整数}, D={所有有理数} 第10页，共22页，编辑于2022年，星期三 注意:当A=B的时候,A×B=B×A,但不是 在A和B都是有限集的时候,一个A×B到D的代数运算常用一个表来表示. 例 1 2 1 2 a a b a §3.代数运算 第11页，共22页，编辑于2022年，星期三 §4.结合律 一个集合A的代数运算 适合结合律,假如 如果对于A的n(n≥2)个固定的元 所有的 都相等,我们把 这个惟一的结果用 第12页，共22页，编辑于2022年，星期三 §5.交换律 一个A×A到D的代数运算 适合交换律, 如果 ○ 如果集合A的代数运算○同时适合结合律与 交换律, 则在 里,元的