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PAGE 1 一道“命题推广”试题背后的观察 上海中学 柴劼玮 双曲线的渐进线有诸多性质，其中一个经常被提及的性质是：双曲线上任一点P到两条渐近线距离的乘积为定值(*). 对这个性质，可设点P坐标，用点到直线距离公式计算化简而证明. 下面这道试题就是以此为背景的： 过双曲线上一点P做两条渐近线的垂线，垂足分别记为A,B，则四边形OAPB的面积是定值(O为坐标原点). 请将上述真命题推广到更一般的双曲线： ____________________________________________________ 此题曾作为每周测验的一道位置靠后的填空题，分别考察过上海中学2013届高三的一个理科班（学生高一高二都就读于平行班）和2015届高二科技班，学生都是第一次见到此题.结果前者错误率为62%,后者错误率为48% . 此题正确答案是：过双曲线上一点P做两条渐近线的平行线，分别交两渐近线于A、B两点，则四边形OAPB的面积是定值. 证明:两渐近线夹角是定值，结合(*)得到：.对原命题中的等轴双曲线，因一条渐近线的垂线刚好平行于另一条渐进线，知原命题确实是正确答案的特例. 而如果学生直接写命题(*)作为答案，我们认为结论并不是对原命题的一种推广，至少原命题中“面积”的问题没有得到诠释. 但这种错误倒是不多见，绝大多数错误，都是因为给出了如下假命题： 过双曲线上一点P做两条渐近线的垂线，垂足分别记为A,B，则四边形OAPB的面积是定值. 不难发现，当时，取P为实轴顶点，可得；而在无穷远处取点P，可设作，得： 所以至少对上海中学科技班做错此题的很多学生来说，要验证此命题为假命题，并无太大困难. 他们做错此题，完全是因为没有意识到：复制原命题的全部表述可能会得到一个假命题！故而也就没有花时间去举例检验；而反过来说，由于正确答案的表述和原命题略有差异，凡是给出正确答案的学生，都曾花时间（即便没有动笔证明，仅仅是凭空想象特例）去检验. 所以表面上，学生的错误可归咎于文字陷阱和思维定势. 但是对自己提出的命题的真假负责，却是基本的数学素养，也是数学学科一贯倡导的价值观. 学生错得并不冤枉. 我国教育工作者常把“知识与技能\过程与方法\情感态度与价值观”作为课程目标的三个维度. 对于第三个维度，笔者无奈地承认，仅对中学教育来说，很多基于情感态度的解构方式，如从学生学习情绪、课堂氛围、学习目标等角度去解构，往往较难体现数学学科的特色. 但数学学科确实倡导着其独有的价值观，除了源自其区别于一般实验科学的学科方法论之外，显然也源自数学学科独特的美以及人们对数学的审美（很多喜爱数学的中学生都认为数学具备其他学科难以替代的魅力），而这两者是相通的. 从哲学层面去归类和提炼这些价值观的内容，是有意义的工作，如果我们从数学的审美角度出发，把中学数学所倡导的价值观（以下简称“价值观”）总结为严谨（结论正确、逻辑完整）、实用（能广泛、有力地为其他数学问题和应用问题提供理论支持）、优美（结论或方法具备形式的简洁美以及更深层次的数学美）这三项(以下称这种解构为**)，那么，在上例“推广命题”试题中被考察的价值观仅仅是**中的“严谨”. 但这却只是至多一半的工作. 即，对于中学数学学科倡导的价值观的研究，除了哲学层面的构念，除了借鉴发展心理学和认知心理学的相关成果，更需要一线教师的命题实践支持. 要使研究对数学教学有实质性的促进作用，我们必须动手设计反映学生对数学学科价值观的领悟与贯彻程度的量化指标，因为谈论价值观，即是谈论“判断好坏”，学生的价值观，一定能反映为在具体的学习探究任务中的方法选择倾向（如，这两种解法，哪一种更值得尝试?）或是审美倾向（如，怎样表达这个命题更好？又如，这两道拓展习题，哪道题更吸引我？）. 而数学学科和其他理科一样，要在向学生隐瞒测验意图的前提下，设计一些像上例一样检测“价值观”的试题，尤其是填空题或选择题，并不是很容易的事，难点恰恰在于分离无关变量. 通俗地讲：“知识与技能，学生都熟悉；过程与方法，简单无压力；真那么简单？那倒也未必”，具备此类特点的填空题，往往是理想的检测素材（但不是唯一的素材）. 如下面是另一个类似的例子： 2010年上海高考理科数学卷第10题： 在n行n列矩阵中，记位于第i行、第j列的元素为aij(i,j=1,2,...,n). 当n=9时，a11+a22+a33+...+a99=______________. 这道题的正确答案为45，只须写出一个9阶方阵的主对角线上的元素值，再相加即可. 然而当年全市考生错误率高达48%，其中大多数答错的考生都答81，由81=1+3+5+7+...+17可知他们对题中矩阵的定义法则并无理解偏差，但他们受已经列出的前三行影响，通过不完全归纳，误以为主对角线上的元