【精品】2022届二轮专题突破四第2课时空间距离及立体几何中的新定义问题学案.docxVIP

第2课时 空间距离及立体几何中的新定义问题 I J题型一 空间距离师生共研例1边长为4的正三角形ABC, E,尸分别为3C和AC的中点.a=2,且a_L平面 ABC,设。是CE的中点. ⑴求证：〃平面PFQ⑵求AE与平面P歹。间的距离. (1)证明 如下图，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直 线为y轴，A尸所在直线为z轴建立空间直角坐标系. VAP=2, AB=BC=AC=49 又 E,尸分别是BC, AC的中点, ，A(0,0,0), BQ ，A(0,0,0), BQ小,2,0), C(0,4,0), ：.AE=2FQ. 产(020), E他,3,0),0停 r 0) Pg。,) :嬴与的无交点,：.AE//FQ,^ EQU 平面 PFQ, AEQ平面 PFQ, ??AE〃平面PFQ. (2)解由(1)知，AE〃平面PbQ,??点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离. 设平面PFQ的法向量为忆= (%, y, z),标=(0,2, -2),由=净 |, 0), \nLPF,n-PF=0,那么 _即X _ lw±F2，{nFQ=Q. 2y— 2y—2z—0, 令 y=l,那么 x= —^3, z= 1, ???平面 PFQ 的一个法向量为 〃 = (—V5, 1,1).又QA = 解（1）建立如下图的空间直角坐标系. 设 AiA = o.由 43=4吸，得 AC=5C=4,那么 A(4,0,0), C(0,0,0), A 1(4,0, a), 81(0,4, 〃), M(2,2,0), 所以加=(—2,2,一以),部=(0, -4, -a). 因为4M_LHC所以(-2)X0+2X(—4) + (—a)X(—a)=0, 解得〃=2吸，即4A的长为(2)由⑴知 G(0,0,2吸).设 M。。双0WAW26 所以市=(4, -4, -272),布=g, -4, A-2y/2). ? n\_L B\A ? n\_L B\A , 由j _ 4xi —4y\ —2y[2z\ =0,—4yi +(2—24^2)zi =0, 取 n\=\ 1,COS (9=|cos (7l|, 〃2 COS (9=|cos (7l|, 〃2〉 COS (9=|cos (7l|, 〃2〉VTo解得2=也或2=一耳々舍去）,易知平面BCCyBy的一个法向量为/12 = （1,0,0）, 设平面8AN与平面 COS (9=|cos (7l|, 〃2〉 VTo 解得2=也或2=一耳々舍去）, 所以N在棱CG的中点处. 文拓展冲刺练兀1 5 .如图，在四棱锥 P—438 中，AB//DC, /ADCf, AB=AD=^CD=2, PD=PB=y[6,PDLBC. pDC(1)求证：平面尸平面P5C； p DC ⑵在线段PC上是否存在点M,使得平面ABM与平面的夹角为会假设存在，求出党的 值；假设不存在，请说明理由. ⑴证明 因为四边形A3CD为直角梯形，且A3〃QC, AB=AD=29ZADC=^,所以 BD=2p, TT又因为CO=4, /BDCq. 根据余弦定理得3C=2吸，所以 B=B?+Be, 故 BC-LBD. 又因为BCLPD,PDCBD=D,且 B。, PDU 平面 PBD, 所以平面PBD,又因为3CU平面PBC, 所以平面PBC_L平面PBD. (2)解 由⑴得平面A8CD_L平面PBD,设E为80的中点，连接尸￡ 因为 PB=PD=#,所以 PE_LBD, PE=2, 又平面A3C。，平面「3。平面A3CQG平面尸3Q=3O, PEU平面PBD, 所以PEL平面ABCDy 如图，以A为原点，分别以聂)，还和垂直平面ABC。的方向为x, y, Z轴正方向，建立空 间直角坐标系，那么 4000)，5(020),。(2,4,0), 0(2,0,0), P( 1,1,2), 假设存在b, c)满足要求， CM设=4(0W2 W1), 所以M2—2, 4-32, 24),易得平面的一个法向量为元=(2,2。). 设〃 = (x, y, z)为平面ABM的一个法向量，赢=(0,2,0), AM=(2-2, 4—3九 2乃. n-AB=0, 同- jvAM=0,产。 n-AB=0, 同- jvAM=0, [(2—2)x+(4—32)y+2/z=0,不妨取〃 =(2九0, 2—2). 7T因为平面PBD与平面ABM的夹角为子 斫为 弘|1历么2也而干1二^ 一 2 2解得2=小，％=—2(不合题意舍去). 故存在M点满足条件，且党=0. .济生如京/ IQ4小 2小? ?所求距舟d一同一$ ? 思维升华（1）求点到平面的距离的常用方法①直接法：过P点作平面a的垂线，垂足为。，把尸。放在某个三角形中，解三角形求出PQ