初三数学圆知识点总结.doc

第 PAGE 页 圆——知识点总结归纳 要点归纳 一．圆的认识 1．圆的定义 OAr〔1〕在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段 O A r 〔2〕圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。 说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。 2．圆的有关概念 〔1〕弦：连结圆上任意两点的线段。〔如右图中的CD〕。 BOA〔2〕直径：经过圆心的弦〔如右图中的AB〕。直径等于半径的2倍。 B O A DC〔3〕弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧。〔如右图中的、〕 D C 其中大于半圆的弧叫做优弧，如，小于半圆的弧叫做劣弧。 〔4〕圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 〔1〕定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。 〔2〕推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4．过三点的圆。 〔1〕定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。 〔2〕三角形的外接圆圆心〔外心〕是三边垂直平分线的交点。 5．垂径定理。 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论： 〔1〕①平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧。 〔2〕圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6．与圆相关的角 〔1〕与圆相关的角的定义 ①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ②圆周角：顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 ③弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一连轴与圆相切的角叫做弦切角。 〔2〕与圆相关的角的性质 ①圆心角的度数等于它所对的弦的度数； ②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆〔或直径〕所对的圆周角相等； ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角； ⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； ⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 二．与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么： 〔1〕点在圆外 〔2〕点在圆上 〔3〕点在圆内 2．直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离 〔1〕直线与圆相离，直线与圆没有交点； 〔2〕直线与圆相切，直线与圆有唯一交点； 〔3〕直线与圆相交，直线与圆有两个交点。 3．圆的切线 〔1〕定义：与圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点。 〔2〕切线的判定定理 经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。 〔3〕切线的性质定理及推论 定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论： ①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4．两圆的位置关系 设R、r为两圆的半径，d为圆心距 〔1〕两圆外离； 〔2〕两圆外切； 〔3〕两圆相交； 〔4〕两圆内切； 〔5〕两圆内含。〔注意：如果为，那么两圆为同心圆。〕 5．两圆连心线的性质 〔1〕相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角。〔注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线的判定“到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上〞，很易证明。〕 〔2〕相切两圆的连心线必经过切点。 〔3〕相离两圆的连心线平分内公切线的夹角与外公切线的夹角。 6．两圆公切线的性质 〔1〕如果两圆有两条外公切线，那么两外公切线长相等。 〔2〕如果两圆有两条内公切线，那么两内公切线长相等。 7．相交弦定理、切割线定理、切线长定理 定理 AO A O B C D P 关系式 相交弦定理 A A B C D P O 相交弦定理的推论 P P C A B 切割线定理 切割线定理的推论 A A B C D P 切线长定理 B B A P O 〔注：R表示⊙O的半径〕 8．与圆有关的比例线段问题的一般思考方法 〔1〕直接应用相交弦、切割线定理及其推论； 〔2〕找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用根本定理推导时，通常是由“三点定形法〞证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。 9．与圆相关的常用辅助线 〔1〕有弦，可作弦心距； 〔2〕有直径，可作直径所对的圆周角； 〔3〕有切点，可作过切点的半径； 〔4〕两圆相交，可作公共弦； 〔5〕两圆相切，可作公切线； 〔6〕有半圆，可作整圆。 记忆口诀：有弦可作弦心距，中心圆心相连；两圆相切公切线，两圆相交公共弦；遇到