广西师范大学结构化学基础习题答案_周公度_第4版.docx

【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为 ? ?x?? 2 sin n? x n? l ?l n ? 1,2,3 ??? n 式中是势箱的长度l ， x 是粒子的坐标值。 0 ? x ? l ，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均 解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量： 2 nπl lH? ψ ( x ) ? - h2 d2 ( 2sin nπx ) ? - h2 d ( cos nπx ) 2 nπ l l n 8 π2m d x2 l l 8 π2m d x l h2 28? 2m l? ? ? n? ?(? n? sin h2 2 8? 2m l 2l 2 l ? ? h2 ? n2? 2 sin n? x ? n2h2 ? (x) E ? n2h2 即： 8ml2 8? 2m l2 l 8ml2 n n n由于x?? (x) ? c? (x), x? n n x ? ?l? * ?x?x? ?x?dx ? ?l ?  sin n?x ?* ? x?l ?  2? 2 ?l ? n?x ? ?dx 2l?0 n n 0 2 l ? l ?? 0 ? l ? ?2 ? n?x ? ? 2 ? 1 ? cos 2n? x ? ?l x sin 2 ? ?dx ? ?l x? l ?dx l 0 ? l ? l 0 ? 2 ? ? ? 1 ? x2l ? 2?l ? 2n? x 1 ? x2 l ? 2 ? l? l ? ? x sin ? l ? ? sin dx? l 0 2n? ? l ? 0 ? l 2 2n? 0 l ? p? ? 由于 x n ?x?? c? n ?x?,p?  x 无本征值。按下式计算 px的平均值: p ? ? 1? * ?x? p? ? ?x?dx x 0 n x n 2l2l?? ? 1 sin n? x ? 2 l 2 l ? ih d ? sin n? x dx ? 0 l ? 2? dx ? l ? ? nih ? l sin n? x cos n? x dx ? 0 l 2 0 l l 【1.20】若在下一离子中运动的? 电子可用一维势箱近似表示其运动特征： n估计这一势箱的长度 l ? 1.3nm ，根据能级公式 E ? n2h2 /8 ml 2 估算? 电子跃迁时所吸收 n 的光的波长，并与实验值 510.0 nm 比较。 H H H H H3C N C C C C C C C CH3 N CH3 H H H CH3 解：该离子共有 10 个? 电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5 个 ? 型分子轨道上。离子受到光的照射， ? 电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最 低能量即第 5 和第 6 两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长： ?E ? hc ? ? E ? E 6 5 ? 62 h2 8ml 2 ? 52 h2 8ml 2 ? 11h2 8ml 2 ? ? 8mcl2 11h  ? ?2 ? 8? 9.1095?10?31 kg ? 2.9979 ?108 m?s?1 ? 1.3?10?9 m 11? 6.6262 ?10?34 J ?s ? 506.6nm 4 2? a3 4 2? a3 0 ?00? ? 1 ? 0 0 ? r ? exp ?? r ? ? ? ? ? ? ? ? 原子轨道能E=? 2 pz a ? ? a ? cos ? ，试回答下列问题： 轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ |=? 轨道角动量M 和z 轴的夹角是多少度？ 列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。(e)节面的个数、位置和形状怎么样？ (f)概率密度极大值的位置在何处？ (g)画出径向分布示意图。 解：（a）原子的轨道能： 1 E ? ?2.18 ?10?18 J? 22 l( l(l ?1) h 2? M ? ? ?5.45 ?10?19 J 2 h 2 h 2? 轨道磁矩： ? ? l ?l ?1?? e 轨道角动量和z 轴的夹角： cos? ? 0 ? h M 2? z ? ? M 2? 2M ? h 2 2? ， ? ? 90? 电子离核的平均距离的表达式为： r ? ? ? * ?? ?? ?? ?2? 2? r? d? 2 p z z ? r ? r2 sin? drd? d? 0 ? 0 0 2 pz ?0 ? 令 2 pz ，得： r=0，r=∞，θ =900 ? 节面或节点通常不包括r=0 和 r=∞，故 2 pz 的节面只有