数列求和方法之裂项相消法.docx

PAGE PAGE 1 数列求和方法之裂项相消法 教材试题选取 普通高中课程标准实验教科书《数学必修5A版》（人民教育出版社，2007年1月第三版）第47页习题2.3B组第4题： 题目及其解答 数列的前项和为 ， 研究一下，能否找到求的一个公式，你能对这个问题作一些推广吗？ 解析：因为， 所以 知识点分析 此题所用方法为数列求和中的“裂项相消法”，是将数列的每项（通项）分解，每一项裂为两项的差，即化的形式，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常见模式： 等差型 其中是以为公差的等差数列,如，， 根式型 指数型 （1） （2），常见的公式如： 4、对数型 5、三角型 考试情况分析 近3年高考全国卷考试情况 年份 卷别 具体考查内容及命题位置 2019 甲卷 （理）等差数列求和，通项 等比数列求和 （文）等比数列求和 丙卷 （理）等差数列求和 （文）等差数列求和 2018 丙卷 （理）等比数列求和 （文）等比数列求和 2017 甲卷 （理）等差数列求和，通项 (文) 等比数列求和 乙卷 （理）等差数列求和、裂项相消法求和 （文）等差数列求和、等比数列求和 丙卷 (文) 裂项相消法求和 （二）真题再现 【2017年全国3卷文科17】设数列满足. 求数列的通项公式； 求数列的前项和. 解析：(1)当时，由已知，可得，两式相减得.当时，也满足上式，故数列的通项公式为. (2)令，则由（1）得，， 故数列的前项和 . 2.【2012年天津卷理科18】已知是等差数列，其前项和为，是等比数 列，且. （1）求数列与的通项公式; （2）记，，求证： 解析：(1)设等差数列的公差为，等比数列的等比为.由，得. 由条件得方程组，解得，故. (2), , 故 3.【2011年安徽卷理科18】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构 成递增的等比数列，将这个数的乘积计作，再令. （1）求数列的通项公式; （2）设，求数列的前项和. 解析：(1)设构成等比数列，其中则①，②，①②并利用 得，故 因为，得 三，巩固练习 1.【2013年全国1卷文科17】已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 解析：(1)设的公差为，则.由已知可得 解得.故的通项公式为. (2)由(1)知，从而数列的前项和为. 2.【2012广州一模理数】等比数列的各项均为正数，成等差数列，且，设，求数列的前项和. 解析：设等比数列的公比为，依题意有 ，即 由于，解得或（舍去），故数列的通项公式为.所以 故 . 3.已知设，求的前项和. 解析：由题意可得 则 从而. 四，归纳总结 1.裂项相消求和法是数列求和的重点和难点之一，是高考常考的一种方法。2017年全国卷乙卷、丙卷都考查了裂项相消法。多以解答题的形式考查，常出现在17题的位置，着重考查求数列通项公式和求和，属于基础题。 2.裂项相消求和法是把数列的通项公式分成几项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项求和。余下的项前后的位置是对称的，余下的项前后的 正负性是相反的。 3.它能与很多知识点产生联系，例如与函数、不等式、几何、三角函数等，同时也涉及到分类讨论、数形结合、递推思想等数学思想。