高三数学一轮复习专题-平面与平面垂直的题型讲义.docx

PAGE 3 高三数学第一轮复习专题 平面与平面垂直的题型 第一部分 基础知识 一、二面角： 1。半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，每一部分都叫做半平面。 2。二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。 棱为，面为为二面角记作：。 3。二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线OA、OB，叫做二面角的平面角。 二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的度数等于其平面角的度数。 平面角是直角的二面角叫做直二面角。 规律：几何法寻找二面角平面角的方法： 寻找棱的垂面。 面面垂直的判定定理： 面面垂直定义：两平面相交，若它们所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直。 1.面面垂直判定定理：若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 证明：设，在内过B作 又 为二面角的平面角 又 2.推论：若一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。（小题中使用） ∥ 证明：过作平面交平面于直线。 ∥ ∥ 又 又 。 三、面面垂直的性质定理： 1.面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 三个核心条件： 证明：在内过B作，则为二面角的平面角 又 第二部分 面面垂直的基本题型 题型一：证明两平面垂直 规律：证明两平面垂直，关键是要在一个平面中找到另一平面的垂线。 例1.在几何体中，四边形ABCD为矩形，，，求证：。 证明： 又 。 例2.在长方体中，，E是的中点，F是CE的中点。（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：。 分析：可以看出，要证，只需证：。 （2）证明： 。 例3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，，，，且. (1)求证：； (2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值. 【分析】 由已知，根据条件先推导，然后再根据，，结合，使用线面垂直的判定定理证明平面，然后再使用面面垂直的判定定理证明面面垂直即可； 规律总结：欲证面面垂直，先证线面垂直，即先在一个平面中找出另一平面的垂线，这一步需要眼光，多做题可以训练出眼光。 证明： ，，， 又，，，， 又平面，平面，， 又，平面，平面， 而平面，平面平面. 例4．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP =∠CDP =90°． (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA⊥PD，PA = PD = 2，AB = 4，求三棱锥的体积． 【分析】 （1）证平面，由面面垂直的判定定理可得到证明； 证明：（1） ∵，∴，， ∵，∴，又∵，平面PAD，平面， ∴平面，∵AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD． 例5．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，F分别是棱的中点，二面角为. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【分析】 作出辅助线，由余弦定理求出PB，从而由勾股定理逆定理得到线线垂直，从而证明线面垂直，得到面面垂直； 证明：(1) 连接PE，BE， 为AD中点，PE⊥AD， ，E为AD中点，BE⊥AD， ，AD⊥平面PBE， 平面PBE，AD⊥PB， ，E为AD中点， ，由勾股定理得：， ，由勾股定理逆定理可得：， ， BE⊥AD，PE⊥AD，即为二面角的平面角， =. 在三角形PEB中，由余弦定理得：，， ，， ，平面ABCD， 平面PBC，平面PBC⊥平面ABCD 例6．如图，在水平放置的直角梯形中，.以所在直线为轴，将向上旋转角得到，其中. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角余弦值不超过，求的范围. 【解析】 （1）首先利用线面垂直的判定定理证明平面，又由可证平面，再根据面面垂直的判定定理可证平面平面； （1）证明：由题意，，且平面，平面； 又，平面， 而平面，平面平面； 例7．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，M为BC中点，且． (1)求证：平面平面PMD； (2)若平面平面ABCD，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 【解析】 结合已知条件及线面垂直的判定定理证明平面PDM，再由面面垂直的判定定理即可证明； (1)证明： 在菱形ABCD中，，． ，为的中点，． ，平面PMD． 又平面DMC，平面平面PMD． 例8．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面． (1)证明：平面平面； (2)设，，求二面角的余弦值． 【解析】 （1）易得，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； (1)证明：是圆的直径，