八年级数学上册 3.1 勾股定理知识点解读素材 （新版）苏科版.doc

PAGE 1 可修改 欢迎下载 ?勾股定理?知识点解读 知识点1：勾股定理〔重点〕 ★勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么。该定理反映了直角三角形的三边关系。〔古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾〞，较长的直角边称为“股〞，斜边称为“弦〞〕 CBA■温馨提示 C B A 例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长。 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=52+122=169，所以AB=13. ②在式子中，a代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，它们之间的关系不能弄错。应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的最长边，也就是斜边。在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90°时，当∠C=90°时， 例：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，求AB2的值。 解：当∠C=90°时，AB2=AC2+BC2=32+42=25； 当∠A=90°时，AB2=BC2-AC2=42-32=7 ③遇到直角三角形中的线段求值问题，要首先想到勾股定理。勾股定理把“数〞与“形〞有机地结合起来，把直角三角形这一“形〞与三边关系这一“数〞结合起来，是数形结合思想方法的典型。 ④勾股定理的变式： 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么 CBAD 例： C B A D 解析 ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD=BC=6〔cm〕 在Rt△ABD中，由勾股定理知 AD= 答案 8 知识点2：勾股定理的验证〔难点〕 ★勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积〔拼图〕证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。 说明：〔1〕探索勾股定理时找面积相等是关键。 〔2〕由面积之间的等量关系，并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。 〔3〕拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以下步骤： 拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导出勾股定理。 例：如图是美国第20任总统加菲尔德于1876年给出的一种验证勾股定理的方法，你能利用它验证勾股定理吗？ 分析：通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积， 从而得到一个关于三边长a，b，c之间的关系式，这种方法 习惯称为“算两次〞。 解： 解题关键：两个全等的直角三角形按上图摆放可得到一个大的直角梯形，而中间得到一个等腰直角三角形〔由全等易证出〕。 知识点2：勾股定理的应用〔重点〕 ★直角三角形任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度。 应用勾股定理应注意的三个问题： 〔1〕勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一，即应用勾股定理的前提条件是“在直击三角形中〞； 〔2〕应用勾股定理时，必须分清斜边和直角边； 〔3〕不能直接用勾股定理解决问题时，可以通过添加辅助线的方法构造出直角三角形，再利用勾股定理解答。 例：如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行多少米？ 解：由题意可画出如下图的图形，作DE⊥AB，垂足为E，那么∠BED=90°，AE=CD，DE=AC，其中AB=10 m，AC=8 m，CD=4 m， 所以BE=AB-AE=AB-CD=10-4=6〔m〕. 在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2=BE2+DE2=62+82=100. 所以BD=10 m. 答：小鸟至少要飞行10 m. 解题关键：对于实际问题，要仔细分析题意，从所给信息中抽象出直角三角形，再用勾股定理计算出所求线段的长.