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二. 无穷小和无穷大. 1 . 无穷小定义 : 以零为极限的变量就是无穷小量 . 例 : 当 x → +∞ 时 , 1/x 的极限为零 ; 注 : ① 称一个函数是无穷小量时 , 必须指出其自变量的变化趋势. ②无穷小量是变量而不是常数 0 , 也不是很小的数 ( 如 10-10000) 但0可以看成是无穷小量。 当 x → 1时 , x-1 的极限也是零 . 2 . 无穷大定义 : 在变化过程中其绝对值无限变大 , (无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反) 例 : 当 x → 0 时 , 1/x 的值无限增大 ; 注 : ① 称一个函数是无穷大量时 , 必须指出其自变量的变化趋势. ②无穷大量是变量 , 而不是一个很大的量 . ▲ . 无穷大量 , 无穷小量是变量 , 而不是一个确定的量 . 当 x → π/2 时 , y = tgx 的绝对值 │y│无限增大 . 3 . 无穷小与无穷大的关系 : 互为倒数关系 例 : 当 x → 0 时 , 1/x 为无穷大量 , 而 x 为无穷小量 . (在同一变化过程中). 4 . 无穷小定理 : 定理1 . 函数 f (x) 以A为极限的充分必要条件是函数 f (x)与常数A 之差是一个无穷小量 . 即 lim f (x) =A 成立的充要条件是 : lim [ f (x) -A] = 0 亦即 , 若函数 f (x)以A为极限 , 若设 f (x) -A =α, 则α为该极限过程中的无穷小量 . 定理2 .有限个无穷小的代数和仍为无穷小量 . 定理3 . 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小量 . (有界函数 : 若函数 f(x) 在某个区间 X内满足 : A≤f(x)≤B , 其中 A , B 是两个定数 , 则称 f (x)在区间X内有界 , A—下界 , B—上界). 推论1. 常数与无穷小量之积仍为无穷小量 . 推论2. 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量 . 5 . 无穷小的比较 : 设α,β为两个无穷小 . ① 若 lim α/ β= 0 (或 lim β / α=∞) , 则称α是比β高阶的无穷小 或称β是比α低阶的无穷小 . ②若 lim α/ β= k≠0 , 则称α与β是同阶无穷小 . 特别地若 lim α/ β=1 ,则称α与β是等价无穷小 . 记作 : α∽β 即 lim α/ β= 0 α是比β高阶的无穷小. ∞ α是比β低阶的无穷小 . k≠0 α与β是同阶无穷小 . 1 α与β是等价无穷小. 在求等价无穷小的比值的极限时,可将其中每一个(或仅仅一个) 换为与其等价的无穷小. 即 若α∽α1,β∽β1, 则lim α/ β= lim α1/ β= lim α/ β1 = lim α1/ β1 注:等价无穷小有一个很有用的性质: 例: 求 解: 利用x→0 时, ln (1+2x) ∽2x得: ∽ 原式= = 1/2 三 . 极限的四则运算法则 : 定理: 设在某变化过程中有 lim f (x)=A , lim g (x)=B ,则有: ① lim [ f (x)±g (x)]=lim f (x) ±lim g (x) =A±B. ② lim [f (x) g (x)] =lim f (x) lim g (x) =AB ③ lim f (x) / g(x) =lim f (x) / lim g (x) =A / B (B≠0) 性质: ① lim C=C ( C为常量) . ② limC f (x) = C lim f (x) ③ lim[ f (x)]n =[ lim f (x)]n (n为正整数). 3 1 ) 1 )( 1 ( lim , 0 , 1 ( : 2 1 = - + + - = ? ? x x x x x x 原式 故不能用极限的商定理) 分母的极限为 时 当 解 对于有理分式函数F(x)= P(x) Q(x) 求极限小结如下： ⑴当 x→∞时 ①若多项式P(x)的次数低于分母Q(x)的次数,则函数F(x)的极限为0. ②若P(x)与Q(x)为同次多项式,则F(x)的极限为p(x)与Q(x)中x最高 次幂的系数之比. ③若P(x)的次数高于Q(x)的次数,则F(x)的极限为无穷大. ⑵当 x→x0时 ①若分母极限不为0,则可直接应用商定理求出其极限. ②若分母的极限为0时,想法消去使