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两边同乘 n ! = 整数 + 假设 e 为有理数 ( p , q 为正整数) , 则当 时, 等式左边为整数; 矛盾 ! 2. 证明 e 为无理数 . 证: 时, 当 故 e 为无理数 . 等式右边不可能为整数. 几何体体积常见求法 二、等体积转化法：从不同的角度看待原几何体， 通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理， 求原几何体的体积。 三、割补法不但是立体几何中求角、 距离的常用方法， 而且也是求几何体体积的常用方法． 它包括把规则的几何体割补成易求体积的几何体， 也包括把不规则的几何体割补成规则的几何体， 以便求体积． 一、直接法 C P A B 解法一： 易知AO是PA的射影，且 AO是∠BAC的平分线。 故VP-ABC= O 例1 由三余弦定理 而 , 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 应用 目的－用多项式近似表示函数. 理论分析 近似计算 泰勒公式 第三章 特点: 一、泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 1. 求 n 次近似多项式 要求: 故 令 则 2. 余项估计 令 (称为余项) , 则有 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒(Taylor)中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ① 其中 ② 则当 泰勒 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 注意到 ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 则有 在泰勒公式中若取 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 麦克劳林 由此得近似公式 二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中 麦克劳林公式 其中 麦克劳林公式 麦克劳林公式 类似可得 其中 其中 麦克劳林公式 已知 其中 因此可得 麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 说明: 注意舍入误差对计算结果的影响. 本例 若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 总误差限为 这时得到的近似值不能保证误差不超过 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 . 例2. 用近似公式 计算 cos x 的近似值, 使其精确到 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 . 2. 利用泰勒公式求极限 例3. 求 解: 由于 用洛必达法则不方便 ! 用泰勒公式将分子展到 项, 3. 利用泰勒公式证明不等式 例4. 证明 证: + 内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 . 2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 ) 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等. (2) 利用多项式逼近函数 例如 泰勒多项式逼近 6 4 2 2 4 6 4 2 2 4 O 泰勒多项式逼近 6 4 2 2 4 6 O 4 2 2 4 思考与练习 计算 解: 原式 第四节 作业 P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8; *10 (1), (2) 泰勒 (1685 – 1731) 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 . 麦克劳林 (1698 – 1746) 英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 . 证: 由题设对 备用题 1. 有