函数的单调性与导数-题型分类讲解.pptVIP

* 3.3.1　函数的单调性与导数 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是增函数； (2)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是减函数． 即函数 f (x)在区间(a, b)内： f(x)在(a, b)内单调递减 f(x)在(a, b)内单调递增 f(x)在(a, b)内单调递增 f(x)在(a, b)内单调递减 2.上述结论可用图来直观理解． 2．求函数的单调区间的方法 求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，这些不等式的解就是所求的单调区间． 求函数单调区间的步骤如下： (1)求f(x)的定义域； (2)求出f′(x)； (3)解不等式f′(x)0(或f′(x)0)可得函数的增区间(或减区间)． 3．判断函数的单调性的方法 判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的方法： (1)求f(x)的定义域； (2)求出f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论． [特别提醒]　若无穷多个点使f′(x)＝0，那么这些点必须是离散的，不能构成区间． 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x－x3； (2)f(x)＝sin x－cos x＋x＋1，x∈(0,2π) [策略点睛]　 [题后感悟]　 (1)如何利用导数判断或证明函数的单调性？ 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)0(f′(x)0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论． (2)注意事项： 如果出现个别点使f′(x)＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性． .已知a0，且a≠1，证明函数f(x)＝ax－xln a在(－∞，0)内是减函数． 证明：　∵f′(x)＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)，x0. ∴当a1时，∵ln a0，ax1，∴f′(x)0， 即f(x)在(－∞，0)内是减函数； 当0a1时，∵ln a0，ax1，f′(x)0， 即f(x)在(－∞，0)内是减函数． 综上，函数f(x)在(－∞，0)内是减函数． 若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围． 练习. (1)若函数f (x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k 0)的单调递减区间为(0,4)，求k的值. (2)若函数f(x)=x3-ax2-1在R上单调递增， 求a的取值范围. 思考：是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上 单调递减？若存在，求出a的取值范围，若 不存在，请说明理由。 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化得快， 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； 反之，函数的图象就“平缓”一些. 题型四.导数和函数的图像 函数 f (x)的图象如图所示, 画出导函数图象的大致形状. x y o 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 (A) (B) (C) (D) 练习：函数 的图象如左图所示,则 y=f (x)的图象可能的是( ) 作业 函数的定义域指自变量的取值集合。中学数学中涉及的求定义域问题一般有两大类：一类是求初等函数的定义域问题；一类是求抽象函数的定义域问题。 一.求函数的定义域 1、整式： 2、分式： 3、偶次根式： 5、几个因式的和（差、积）的形式： R 使分母不为0的x的集合 被开方式≥0 列方程组（不等式组）求交集 使函数有意义的x的取值范围 4、零次幂式： 底式不等于0 1.初等函数的定义域 例1、求下列函数的定义域 (用区间表示) 例题讲解 解: 由题意知: 2.抽象函数的定义域 解： 由题意知: 解： 由题意知: *