人教版八年级数学上册第十三章课件 课题学习 最短路径问题.pptVIP

* * * * * * * * 13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 最短路径问题 建桥选址问题 知识点 最短路径问题 知1－讲 感悟新知 1 1. 直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题 如图13.4-1，点A，B 分别是直线l 异侧的两个点，在直线l 上找一点C，使CA+CB 最小，这时点C 就是线段AB 与直线l 的交点. 知1－讲 感悟新知 2. 直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题 如图13.4-2，点A，B 分别是直线l 同侧的两个点，在直线l 上找一点C，使CA+CB 最小，这时先作点B 关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l 于点C(也可以作点A 关于直线l 的对 称点A′，连接A′B 交直线l 于点C)， 此时点C 就是所求作的点. 知1－讲 感悟新知 特别解读 ●直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. ●直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题依据两点： 一是对称轴上任何一点到一组对称点的距离相等； 二是将同侧的两点转化为异侧的两点，依据异侧两点的方法找点. 感悟新知 知1－练 某供电部门准备在输电主干线l 上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电． (1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两 侧，如图13.4-3，那么分支点M 在 什么地方时总线路最短？ 例 1 感悟新知 知1－练 解题秘方：扣住两点是在直线同侧还是异侧两种类型解决. 方法点拨：解决“一线两点”型最短路径问题的方法 当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点. 感悟新知 知1－练 解：如图13.4-3，连接AB，与l 的交点即为所求的分支点M. 感悟新知 知1－练 (2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-4，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？ 感悟新知 知1－练 解题秘方：扣住两点是在直线同侧还是异侧两种类型解决. 方法点拨：解决“一线两点”型最短路径问题的方法 当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点. 感悟新知 知1－练 解：如图13.4-4，作点B 关于l 的对称点B1，连接AB1交l 于点M，连接BM，此时AM+BM 最短，则点M 即为所求的分支点. 感悟新知 知1－练 1-1. 如图， 四边形OABC 为正方形，边长为3，点A，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 上， 且D 的坐标为(1，0)，P 是OB 上的一动点，则“求PD+PA的最小值”要用到的数学依据是( ) A. 两点之间，线段最短 B. 轴对称的性质 C. 两点之间，线段最短及轴对称的性质 D. 以上都不正确 C 感悟新知 知1－练 如图13.4-5，牧马营地在点P 处，每天牧马人要赶着马群先到草地a 上吃草，再到河边b 处饮水，最后回到营地. 请你设计一条放牧路线， 使其所走的总路程最短. 例2 感悟新知 知1－练 解题秘方：要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，利用轴对称的性质进行转化. 方法点拨：解决“两线一点”型最短路径问题的方法分别以两线为对称轴，作已知点的对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段. 感悟新知 知1－练 解：如图13.4-5，作点P 关于直线a 的对称点P1，关于直线b 的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b 于点A，B，连接PA，PB. 由轴对称的性质知，PA=P1A，PB=P2B，则先沿PA 到点A 处吃草，再沿AB 到点B 处饮水， 最后沿BP 回到营地，此时PA+AB+PB=P1A+AB+P2B=P1P2， 按这样的路线放牧所走的总路程最短. 感悟新知 知1－练 2-1. 如图，在四边形ABCD中，∠ BAD=120°，∠ B =∠ D= 90°，在BC，CD上分别找一点M，N，当△ AMN 的周长最小时，求∠ AMN + ∠ ANM 的度数. 感悟新知 知1－练 解：如图，分别作点A关于直线BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″的长即为△AMN的周长的最小值．作DA的延长线AH， 感悟新知 知1－练 ∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°， ∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°. ∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠A′＋∠