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高等流体力学;工程流体力学;;;第一节?????场论简述;一? 基本概念
1.场（field）：
设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
标量场（scalar field）：
向量场（vector field）： g=f(r,t)
均匀场（homogeneous field）：
非均匀场（non-homogenous field）：
定常流场（steady field）：
非定常流场(unsteady field)：; (1)标量:是一维的量，它只须1个数量及单位来表示，它独立于坐标系的选择。
流体的温度，密度等均是标量。
(2)向量(矢量):不仅有数量的大小而且有指定的方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示,因此向量是三维的量。
速度,加速度是向量.
常用黑体字母x、u 表示空间坐标位置向量和流速向量。也用 类似表示。; 对于笛卡儿坐标，X的3个分量为x1，x2，x3。而三个坐标方向的单位分别用e1，e2，e3表示。有时也常用i，,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以写为： ;矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)： ;Date;矢量的矢量积(向量积)（叉乘）(外积)： ;
平面面积可作为一个向量;数量三重积： ;数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积 。;向量三重积： ;二、场的几何表示
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
;二、场的几何表示
2、? vector field：
大小：标量.
可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
方向：采用矢量线来几何地表示。
矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合。;矢量线方程：
设 是矢量线的切向元素，
则据矢量线的定义有
直角坐标：
则有：
;所以有： （向量线方程）;三、标量场的梯度 ;
沿梯度方向的方向导数达到最大值;直角坐标系中： ; 梯度意义的证明：
如图，设 方向单位向量
函数 沿 方向的变化为：
另： 与 同向时， 最大
;定理证明:
a） 满足关系式：
证明：
=;b)若任给一封闭曲线L， ，且 是矢径 的单值函数，则：
证明：
;Date; 四、向量的散度(divergence)
1、预备知识
a.向量通过曲面的通量（flux）：
b.Gauss定理：
若 在 有一阶连续偏导数，
则：
;
2、散度的定义
于是Gauss定理可以写作：
;Date;例1：任一不可压流场， ，在流场中一点M取微元体，则密速（密度速度）变化量
点源： · Source
点汇： · Sink
例2：令
有 ; 五、向量的旋度（rotation）
1、预备知识
1)向量 的环量（Circulation）
; 2) Stokes定理： (L围成S，S单连通）
向量为速度，为二元流动：
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。这就是斯托克斯（G·G·Stokes）定理。
通式：
;Date; 2、旋度的定义
=
于是Stokes定理可以写成：
;
例题：
; 六、 哈密顿算子▽和场论的基本运算公式
1、 哈密顿算子的定义：
它具有矢量和对它右边的量微分的双重性.因此：
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