【三年制】专转本高数知识点小册子.docx

高等数学知识点 第一章 函数、极限与连续 §1 函 数 一、概念 1．函数：设有变量 x, y 及非空数集 D ，若对任意的 x ? D ，按照对应法则 f ， y 均有惟一的值与之对应，就称 y 是 x 的函数，记为 y ? f (x) ． 2．反函数：设 y ? f (x) 的定义域为 D ，值域为W ，若对任意的 y ?W ，均有惟一的 x ? D 与之对应，且满足 y ? f (x) ，则 x 是 y 的函数，称之为 y ? f (x) 的反函数，记为 x ? f ?1 ( y) 或 y ? f ?1 (x) ． 3．复合函数：设 u ? ? (x) 的定义域为 D? ，值域为W? ， y ? f (u) 的定义域为 Df ，当W? Df ? ? 时，对任意 x ? D? ， y 经过变量 u 成为 x 的函数，称之为 y ? f (u) 与 u ? ? (x) 的复合函数，记为 y ? f (? (x)) ，并且称 u 为中间变量． 4．初等函数：常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数统称为基本初等函数． 由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算所得到的，且可用一个表达式表示的函数称为 初等函数． 二、性质 1．有界性 ( x) 是数集 X 上的有界函数：存在正数 M ，使得对任意 x ? X ，均成立 | f (x) |? M ． f ( x) 是数集 X 上的有上界函数：存在常数 M ，使得对任意 x ? X ，均成立 f (x) ? M ． ( x) 是数集 X 上的有下界函数：存在常数 m ，使得对任意 x ? X ，均成立 f (x) ? m ． 2．单调性： f ( x) 是定义区间 I 上的单调增加函数（单调减少函数）：对任意 x1 , x2 ? I ， x1 ? x2 ，均 1 f (x1 ) ? f (x2 ) （ f (x1 ) ? f (x2 ) ）． 3．奇偶性 ( x) 是奇函数（偶函数）：对任意 x ? D ，均有 ? x ? D ，且 f (?x) ? ? f (x) （ f (?x) ? f (x) ）． 4．周期性 ( x) 是周期函数：存在正数T ，使得对任意 x ? D ，均有 x ?T ? D ，且 f (x ? T ) ? f (x) ，T 称 f ( x) 的周期． §2 极 限 一、概念 1．数列极限 lim xn ? a ：对任意的 ? ? 0 ，均存在正整数 N ，当 n ? N 时，恒有 | xn ? a |? ? ． n?? 2．函数极限 ⑴ lim f (x) ? A ：对任意的 ? ? 0 ，均存在 ? ? 0 ，当 0 ?| x ? x0 |? ? 时，恒有 | f (x) ? A |? ? ． x?x0 ⑵ lim f (x) ? A ：对任意的 ? ? 0 ，均存在 X ? 0 ，当 | x |? X 时，恒有 | f (x) ? A |? ? ． x?? 3．单侧极限 左极限 lim f ( x) 记?为 f ( x ? 0) ， 右极限 lim f ( x) 记?为 f ( x ? 0) ； x?x? 0 x?x? 0 0 0 lim f 记为 f (??), lim 记为 f (??) ． ( x) ? f ( x) ? x??? x??? 4．无穷小 极限为零的函数（数列）称为相应自变量变化过程中的无穷小． 5．无穷大 在自变量的某一变化过程中，若函数 f ( x) 的绝对值无限增大，则称 f ( x) 为无穷大量. ⑴ lim f (x) ? ? ：对任意的 M ? 0 ，均存在 ? ? 0 ，当 0 ?| x ? x0 |?? 时，恒有 | f (x) |? M ； x?x0 ⑵ lim f (x) ? ? ：对任意的 M ? 0 ，均存在 X ? 0 ，当 | x |? X 时，恒有 | f (x) |? M ； x?? ⑶ lim x ? ? ：对任意的 M ? 0 ，均存在正整数 N ? 0 ，当 n ? N 时，恒有 | x |? M ． n?? n n 6．无穷小的比较 设?, ? 均为 x ? a 时的无穷小， ⑴? 是 ? 的高阶无穷小（记为 ? ? o(?) ）： lim ? ? 0； x?a ? 2 ⑵? 是 ? 的低阶无穷小（记为 ? ? o(?) ）： lim ? ? ? ； x?a ? ⑶? 是 ? 的同阶无穷小： lim? ? c ? 0 ． x?a ? 特别的，若 c ? 1 ：? 是 ? 的等价无穷小（记为? ~ ? ）． 若 lim ? ? c ? 0：? 为 ? 的 k 阶无穷小（ x ? a ）． x?a ?k 二、关系 1．极限与单侧极限 ⑴ lim f (x) ? A 的充