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高等数学知识点
第一章 函数、极限与连续
§1 函 数
一、概念
1.函数:设有变量 x, y 及非空数集 D ,若对任意的 x ? D ,按照对应法则 f , y 均有惟一的值与之对应,就称 y 是 x 的函数,记为 y ? f (x) .
2.反函数:设 y ? f (x) 的定义域为 D ,值域为W ,若对任意的 y ?W ,均有惟一的 x ? D 与之对应,且满足 y ? f (x) ,则 x 是 y 的函数,称之为 y ? f (x) 的反函数,记为 x ? f ?1 ( y) 或 y ? f ?1 (x) .
3.复合函数:设 u ? ? (x) 的定义域为 D? ,值域为W? , y ? f (u) 的定义域为 Df ,当W? Df ? ? 时,对任意 x ? D? , y 经过变量 u 成为 x 的函数,称之为 y ? f (u) 与 u ? ? (x) 的复合函数,记为
y ? f (? (x)) ,并且称 u 为中间变量.
4.初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数统称为基本初等函数.
由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算所得到的,且可用一个表达式表示的函数称为
初等函数.
二、性质
1.有界性
( x) 是数集 X 上的有界函数:存在正数 M ,使得对任意 x ? X ,均成立 | f (x) |? M .
f ( x) 是数集 X 上的有上界函数:存在常数 M ,使得对任意 x ? X ,均成立 f (x) ? M .
( x) 是数集 X 上的有下界函数:存在常数 m ,使得对任意 x ? X ,均成立 f (x) ? m .
2.单调性: f ( x) 是定义区间 I 上的单调增加函数(单调减少函数):对任意 x1 , x2 ? I , x1 ? x2 ,均
1
f (x1 ) ? f (x2 ) ( f (x1 ) ? f (x2 ) ).
3.奇偶性
( x) 是奇函数(偶函数):对任意 x ? D ,均有 ? x ? D ,且 f (?x) ? ? f (x) ( f (?x) ? f (x) ).
4.周期性
( x) 是周期函数:存在正数T ,使得对任意 x ? D ,均有 x ?T ? D ,且 f (x ? T ) ? f (x) ,T 称
f ( x) 的周期.
§2 极 限
一、概念
1.数列极限
lim xn
? a :对任意的 ? ? 0 ,均存在正整数 N ,当 n ? N 时,恒有 | xn ? a |? ? .
n??
2.函数极限
⑴ lim
f (x) ? A :对任意的 ? ? 0 ,均存在 ? ? 0 ,当 0 ?| x ? x0 |? ? 时,恒有 | f (x) ? A |? ? .
x?x0
⑵ lim f (x) ? A :对任意的 ? ? 0 ,均存在 X ? 0 ,当 | x |? X 时,恒有 | f (x) ? A |? ? .
x??
3.单侧极限
左极限
lim f ( x) 记?为 f ( x
? 0) ,
右极限 lim
f ( x) 记?为 f ( x
? 0) ;
x?x?
0
x?x?
0
0
0
lim f
记为
f (??), lim
记为
f (??) .
( x) ?
f ( x) ?
x???
x???
4.无穷小
极限为零的函数(数列)称为相应自变量变化过程中的无穷小.
5.无穷大
在自变量的某一变化过程中,若函数 f ( x) 的绝对值无限增大,则称 f ( x) 为无穷大量.
⑴ lim f (x) ? ? :对任意的 M ? 0 ,均存在 ? ? 0 ,当 0 ?| x ? x0 |?? 时,恒有 | f (x) |? M ;
x?x0
⑵ lim f (x) ? ? :对任意的 M ? 0 ,均存在 X ? 0
,当 | x |? X 时,恒有 | f (x) |? M ;
x??
⑶ lim x ? ? :对任意的 M ? 0 ,均存在正整数 N
? 0 ,当 n ? N 时,恒有 | x
|? M .
n?? n
n
6.无穷小的比较
设?, ? 均为 x ? a 时的无穷小,
⑴? 是 ? 的高阶无穷小(记为 ? ? o(?) ): lim
?
? 0;
x?a ?
2
⑵? 是 ? 的低阶无穷小(记为 ? ? o(?) ): lim ? ? ? ;
x?a ?
⑶? 是 ? 的同阶无穷小: lim? ? c ? 0 .
x?a ?
特别的,若 c ? 1 :? 是 ? 的等价无穷小(记为? ~ ? ).
若 lim
?
? c ? 0:?
为 ? 的 k
阶无穷小( x ? a ).
x?a
?k
二、关系
1.极限与单侧极限
⑴ lim f
(x) ? A 的充
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