《离散数学》课件-第10章 代数系统.ppt

定理10.1 定理10.1 设?为S上的二元运算，el、er分别为?运算的左单位元和右单位元，则有 el = er = e 且e 为S上关于?运算的唯一的单位元。 el ＝ el?er  (er为右单位元)  el?er ＝ er  (el为左单位元) 所以el = er，将这个单位元记作e。 假设e?也是S中的单位元，则有 e? = e?e ?= e 所以，e 是S中关于?运算的唯一的单位元。 证明 定理10.2 定理10.2 设?为S上的二元运算，?l和?r分别为?运算的左零元和右零元，则有 ?l = ?r = ? 且?为S上关于?运算的唯一的零元。 ?l ＝ ?l??r  (?r为左零元)  ?l??r ＝ ?r  (?l为右零元) 所以?l = ?r，将这个零元记作? 。 假设? ?也是S中的零元，则有 ? ? = ? ?? ?= ? 所以， ?是S中关于?运算的唯一的零元。 证明 定理10.3 定理10.3 设?为S上的二元运算，e 和?分别为?运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e??。 用反证法。 假设 e =? ，则?x∈S有 x ＝ x ?e ＝ x ?? ＝ ? 这与S中至少含有两个元素矛盾。 所以，假设不 成立，即e??。 证明 定理10.4 定理10.4 设?为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于x∈S，如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有 yl = yr= y 且y是x的唯一的逆元。 由 yl?x = e 和 x?yr = e ，得 证明 yl = yl?e 令yl = yr = y，则y是x的逆元。 = yl? (x?yr) = (yl?x) ?yr = e?yr = yr 假若y??S也是x的逆元，则 y?= y??e = y?? (x?y) = (y??x) ?y = e?y = y 所以y是x唯一的逆元，记作x?1。 消去律 定义10.11 设?为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，满足以下条件： （1）若x?y ＝x?z且x?? ，则y ＝z （左消去律） （2）若y?x ＝ z?x且x?? ，则y＝z （右消去律） 则称?运算满足消去律。 例如： 整数集合上的加法和乘法都满足消去律。 幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。 例10.6 例10.6 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。 （1）Z+，?x,y∈Z+，x?y＝lcm(x,y)，即求x和y的最小公倍数。 （2）Q，?x,y?Q，x?y=x+y-xy 解答 （1）?运算可交换、可结合、是幂等的。 ?x?Z+，x?1=x ， 1?x=x ，1为单位元。 不存在零元。 只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。 例10.6 （2） Q，?x,y?Q，x?y=x+y-xy ?运算满足交换律，因为?x,y?Q，有 x?y =x+y-xy = y+x-yx = y?x ?运算满足结合律，因为?x,y,z?Q，有 (x?y)?z=(x+y-xy)?z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x?(y?z)=x?(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz ?运算不满足幂等律，因为2?Q，但 2?2 =2+2-2?2＝0?2 ?运算满足消去律，因为?x,y,z?Q，x?1(1为零元)，有 x?y = x?z ? x+y-xy=x+z-xz ? y-z = x(y-z) ? y=z 由于?是可交换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立，所以消去律成立。 例10.6 0是?运算的单位元，因为 ?x?Q，有  x?0=x+0-x?0=x=0?x 1是?运算的零元，因为 ?x?Q，有  x?1=x+1-x?1=1=1?x ?x?Q，欲使 x?y=0和 y?x=0成立，即  x+y-xy = 0 得 所以， 例10.7 例10.7 设A={a,b,c}，A上的二元运算?、?、?如表所示。 (1)说明?、?、?运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。 (2)求出关于?、?、?运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。 ? a b c a a b c b b c a c c a b ?运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是a，没有零元，且a-1=a