《高等数学》课件-第5章 定积分.PPT

【例3】计算 【解】 原式 【例4 】计算 【解】 令 原式 【证】 奇函数 【例6】计算 【解】 原式 偶函数 单位圆的面积 上连续，证明 【证】 （1）设 【例7】若 在 . 并由此计算 （2）设 【教材例7】 设函数 【解】 换元 令 于是 或先求f(x-2)再求原积分 较麻烦 【总结】 定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。 令 【例9】 教材P250 8题 【证】 【分析】先分割、再换元，最后改变积分变量 【例10】 设f (x)是以T为周期的连续函数，则对任意a，有 【证】 令 则 【分析】先分割、再换元，最后改积分变量 【一般地】 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积分的换元法 二、小结 定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。 【总结】 【思考题】 【解】 令 【思考题解答】 计算中第二步是错误的. 正确解法是 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 第二节 微积分基本公式 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 四、小结 思考题 基本要求 理解由变上限的定积分所定义的函数。 会求积分上限函数的导数。 掌握牛顿-莱布尼兹公式。 【从变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系看定积分公式应有的形式】 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一、问题的提出 【注】上述结论在一定条件（连续）下具有普遍性 考察定积分 记 ——积分上限函数 二、积分上限函数及其导数 1.【定义】 2.【积分上限函数的性质】 【证】 利用积分中值定理脱掉积分号 (1) (2) (3) f 在[a,b]连续，由积分中值定理得 3.【推广】 【证】 【证完】 【思考】 【例1】求 【解】 【分析】这是 型不定式,应用洛必达法则,求导去掉积分号. 但由于 “积不出”，故不能先求出定积分再求极限. 【证】 也可用积分中值定理判. 【证】 令 【注】也可用积分中值定理，脱掉积分号比较大小 [0,1]上解存在 4.【原函数存在定理】 【定理的重要意义】 (1) 肯定了连续函数的原函数是存在的. (2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 【定理2】 【定理 3】（微积分基本公式） 【证】 三、牛顿—莱布尼茨公式 令 牛—莱公式 【微积分基本公式表明】 2.求定积分问题转化为求原函数的问题. 【使用牛顿—莱布尼兹公式必须注意】 （1）被积函数f(x)在[a,b]上连续 （2）F(x)是f(x)在[a,b]上的原函数. 【例4】求 原式 【解】 【例5】 【分析】 ①本例中函数存在跳跃型间断点，故不存在原函数，从而不能直接用牛—莱公式计算. ②该定积分可采用积分区间的可加性，在各区间段上用牛—莱公式分别积分（因各区间段上存在原函数）. 【解】 一般地，凡可积的分段函数都可以应用积分区间的可加性，在各区间段上分别用牛—莱公式进行定积分. 【例6】求 【解】 由图形可知 【注意】本例存在原函数（?），故也可先求出原函数，再套用牛—莱公式。但较繁琐（见以下解法）。 【例7】 以下解法是否正确，说明理由. 【注】该例说明牛—莱公式中的F(x)必须是f(x)在该积分区间上的原函数. 【解】面积 则 【教材例6】 【证】 由牛—莱公式，有 则有 即 【说明】 本题结论是积分中值定理的改进. 积分中值定理与微分中值定理的联系： 微分中值定理 积分中值定理 原函数在微分中值定理中的ξ等于导函数在积分中值定理中的ξ. 牛顿简介 艾萨克·牛顿(Isaac Newton)是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿于1643年1月4日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村。1727年3月31日，牛顿在伦敦病逝，享年84岁。 在1665年，刚好22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。 牛顿在数学上最卓越的成就是创建微积分。他超越前人的功绩在于，他将古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，如：面积计算可以看作求切线的逆过程。 那时莱布尼兹刚好亦提出微积分研究报告，更因此引发了一场微积分发明专利权的争论，直到莱氏去世才停息。而后世己认定微积是他们同时发明的。 微积分方法上，牛顿所作出重要贡献是，他大胆运用代数方法论去取代传统的几何研究方法，完成了积分的代数化。从此，数学逐渐从感觉的学