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一、两个问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 问题一 :是否能够求一个函数 ,使之在 [a,b]上成立 问题二:对于求得的在[a,b]上满足 的 是否成 立? 二、微积分第一基本定理 考察定积分 记 积分上限函数 微积分第一基本定理: 若f (x) 在[a, b]上连续,则函数 在[a, b]上 可微,且有 . 证明: f (x) 连续 介于 与 之间 变上限积分 说明 1. 是上限 x 的函数. 当f (x) 连续时有 F (x) 也常写成 a x x 积 分 变 量 积 分 上 限 2. f (x) 可积 f (x) 连续 F(x)连续 F(x)可导 3. 故也称为积分上限函数. 注意 1. f (x) 连续 2. 例 3. 例 【例1】 求 【解】 分析:这是 型不定式,应用洛必达法则. 【例2】求 , 其中f (t)为已知的连续函数. 【例3】设 ,求 【解】 【例4】若f (x) 可导,且 ,求 【解】 【解】 【例5】 设 ,则当 时, f (x) 是 g(x) 的( ). (A)高阶无穷小; (B)低阶无穷小; (C)等价无穷小; (D)同阶但不等价的无穷小. 【解】 A 作业 【例6】 【例7】若 f (x) 是[a, b]上的连续函数,试证: 是[a, b]上的单调非增函数,并从而推证不等式: 【证明】 注:若将区间规范化(即区间长度为1时),则有 第5章 积分 定积分概念 不定积分概念 微积分基本定理 遵义师范学院《高等数学》 十七世纪,生产力的发展需要解决四大类问题: 1.已知物体移动的距离求速度和加速度; 反之已知加速度求速度和距离. 2,求曲线的切线. 3.求函数的最值. 4.求曲线的长度,曲线围成的面积,曲面围成的体积, 两物体间的引力等. 牛顿:导数与反导数 不定积分 莱布尼兹:微分与微分的和 定积分 §5.1 定积分概念及性质 两个等价问题 定积分概念 定义,性质,几何意义 一、两个等价问题 1. 曲边梯形的面积 a b x y o 由非负的连续曲线 y = f (x) 与x 轴及直线 x = a, x = b 围成 的图形称为曲边梯形. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o a b x y o (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积. 用小区间左端点的函数值为高作矩形(leftbox): 用小区间右端点的函数值为高作矩形(rightbox) 用小区间中点的函数值为高作矩形(middlebox) y = f (x) 第一步:作分割 在a, b之间插入n -1 个分点 将区间[a, b]分成 n 个小区间 记 为区间 上小曲边梯形的面积. 第二步:近似代替(以直代曲) 第三步:求和 A 第四步:取极限 令 则 关键: 整个曲边梯形 面积可分割成n 个 小曲边梯形面积 之和. 任取 2.变速直线运动的路程 已知物体以速度 v = v (t) 作直线运动,求时间t = a 到 t = b 所经过的路程 S. t: S: 第一步:作分割 关键:整个路程可分割成 n 小段之和. 第二步:近似代替(以匀代变) 第三步:求和 第四步:取极限 令 则 v t a b v = v (t) S 能用上述四步解决的量须满足: (1)分布在某一区间上 (2)总量等于若干个局部量之和 任取 a b 1.曲边梯形的面积 2.变速直线运动的路程 y = f (x) a b t: S: (1)作分割 (2)近似代替(以不变代变) (3)求和 (4)取极限 任取
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