专题10 一次函数背景的存在性-等腰三角形（原卷版）.doc

初中数学函数专题--一次函数 第10节 一次函数背景的存在性--等腰三角形 方法点拨 一、等腰三角形存在性 “两圆一线”得坐标： （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 几何法： （1）两圆一线作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线 段长得点坐标． 代数法： （1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解． 例题演练 1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A（6，0）、B（0，2）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E． （1）求证：△BOC≌△CED； （2）求经过A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程） 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点A（4，3），过点P（0，4）作x轴的平行线，分别交y＝kx的图象于点B，交y＝﹣x+b的图象于点C，连接OC． （1）求这两个函数的表达式； （2）求△OBC的面积； （3）在坐标轴上存在点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 3．如图1，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例函数y＝x的图象交于点C． （1）求一次函数的解析式及点C的坐标； （2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，点E是线段OD上一点，F是y轴正半轴上一点，且∠ECF＝45°，连接EF，求△OEF的周长． 4．如图所示，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第二象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°． （1）求△ABC的面积； （2）如果在第一象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值； （3）在坐标轴上是否存在点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1所示，腰长为3的等腰Rt△AOB的腰与坐标轴重合，直线y＝﹣x与AB交于点C． （1）求点C的坐标； （2）如图2，将直线OC沿y轴正方向平移4个单位长度得到直线DE（其中D、E分别为新直线与y轴、x轴的交点），连接DC、CE，求△CDE的面积； （3）如图3，在第（2）问的条件下，将△AOB沿x轴平移得到△NKM，连接DN、DM，当△DMN为等腰三角形时，直接写出M的坐标． 6．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2． （1）求B点的坐标和k，b的值； （2）如图2，点Q为线段AC上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作OA和OC的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形OFQE的面积为3？ （3）在y轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴y轴分别交于点A、点B，与正比例函数y＝x的图象交于点C，将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点D． （1）求△OAB的周长和点D的坐标； （2）如图2，点P是y轴上一动点，当CP+PD最小时，求点P的坐标； （3）若点Q是x轴上一动点，当△OQD为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 8．如图1，已知直线AC：y＝﹣x+b1和直线AB：y＝kx+b2交于x轴上一点A，且分别交y轴于点C、点B，且OB＝2OC＝4． （1）求k的值； （2）如图1，点D是直线AB上一点，且在x轴上方，当S△ACD＝9时，在线段AC上取一点F，使得CF＝FA，点M，N分别为x轴、y轴上的动点，连接NF，将△CNF沿NF翻折至△C′NF，求MD+MC′的最小值； （3）如图2，H，P分别为射线AC，AO上的动点，连接PH，PC是否存在这样的点P，使得△PCH为等腰三角形，△PHA为直角三角形同时成立．请直接写出满足条件的点P坐标． 9．如图1，平面直角坐标系中，过A（，3）作AC∥x轴，交y轴于C，交直线OB于点B，已知∠BOC