专题07 一次函数背景的最值-胡不归（垂线段最短）问题（原卷版）.doc

初中数学函数专题--一次函数 第7节 一次函数背景的最小值--胡不归（垂线段最短）问题 内容导航 方法点拨 一、胡不归求最值 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记， 即求BC+kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 例题演练 例1．1．如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度． （1）求直线l2的解析式； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值； 练1.1．【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1?k2＝﹣1．反过来，若两条直线的斜率之积k1?k2＝﹣1，则直线l1⊥l2． 【运用】请根据以上材料解答下列问题： （1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM+MF的最小值． 练1.2．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P（0，10）． （1）如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标． 练1.3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+和直线l2：y＝﹣x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C． （1）求△ABC的面积； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF+OP的最小值； 练1.4．如图，已知直线l1：y1＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣1，0），与另一条直线l2：y2＝nx﹣6n（n≠0）交于点B（2，3），直线l2与x轴交于点C． （1）求直线l1的解析式，并写出y1＞y2＞0时，x的取值范围． （2）若点D在直线AB上，且D的横坐标为﹣，过D作直线DQ，直线DQ交y轴于Q点，且△DQB的面积为12，求Q点的坐标． （3）点P为x轴上一个动点，连接BP，求CP+BP的最小值． 练1.5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点B，且过点D（1，4），点E是线段BD上一个动点（不与点B和点D重合），EF⊥x轴于点F，点P是线段OC上的一点，连接OE，EP． （1）求点A和点B的坐标； （2）当△OEF的面积为2时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，当EP+PC最小时，请直接写出OP的长． 练1.6．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），过点B（3，0）作直线AB⊥x轴，直线AB与直线y＝x交于点A．直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与直线AB交于点D，∠DCO＝60°． （1）点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　； （2）在直线AB上有一点M，使△PBM是直角三角形，求点M的坐标； （3）在直线y＝﹣x+3上有一点N，使PN+ND最小，求此时点N坐标，及PN+ND的最小值． 例2．1．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+3（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：y＝x+1分别交x轴，y轴于点D，E，且直线l1⊥l2于点C． （1）如图1，在y轴上有一长为的线段PQ（点P在点Q上方），当线段PQ在y轴正半轴移动时，求CP+PQ+OQ的最小值． 练2.1．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A和顶点C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，CB∥OA，CB＝6，OA＝12，AB＝6． （1）如图2，点P是四边