专题04 一次函数背景的最值-将军饮马（解析版）中考数学通用函数专题满分突破之一次函数篇.docx

初中数学函数专题--一次函数 第4节 一次函数背景的最值--将军饮马 内容导航 方法点拨 一、求线段之和的最小值 1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A’ 是关于直线m的对称点。 2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 例题演练 题组1：AP+PB型 题组1：AP+PB型 例1．1．一次函数y＝kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时直线PC与直线AB的交点坐标． 【解答】解：（1）∵y＝kx+b过A（2，0），B（0，4）， ∴将点A、B的坐标代入y＝kx+b计算得， k＝﹣2，b＝4， ∴该函数的解析式为：y＝﹣2x+4； （2）存在一点P，使PC+PD最小． ∵O（0，0），A（2，0），且C为AO的中点， ∴点C的坐标为（1，0）， 则C关于y轴的对称点为C′（﹣1，0）， 又∵B（0，4），A（2，0）且D为AB的中点， ∴点D的坐标为（1，2）， 连接C′D，设C′D的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴y＝x+1是DC′的解析式， 当x＝0时，y＝1， ∴P（0，1）． ∵PC+PD的最小值＝C′D， ∴由勾股定理得C′D＝2， ∴PC+PD的最小值为2； 练1.1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点． （1）求点C的坐标； （2）求出△BCO的面积； （3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+3①与直线l2：y＝﹣3x②相交于C， ∴联立①②解得，x＝﹣，y＝， ∴C（﹣，）； （2）把x＝0代入y＝x+3得y＝3， ∴B（0，3） ∴OB＝3 ∵C（﹣，） ∴△BCO的面积＝OB×|﹣|＝×3×＝； （3）在y＝x+3中，当y＝0时，x＝﹣3 ∴A（﹣3，0） 作点A（﹣3，0）关于y轴的对称点A′（3，0），连接CA′交y轴于点P，此时PC+PA最小，如图： 设直线CA′的解析式为y＝kx+b 把C（﹣，），A′（3，0）代入上式得： ， 解得： ∴直线CA′的解析式为y＝﹣x+ 令x＝0时y＝ ∴点P（0，）． 练1.2．如图1，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴y轴分别交于点A、点B，与正比例函数y＝x的图象交于点C，将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点D． （1）求△OAB的周长和点D的坐标； （2）如图2，点P是y轴上一动点，当CP+PD最小时，求点P的坐标； 【解答】解：（1）在y＝﹣x+4 中， 当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，﹣x+4＝0，解得：x＝8， ∴AA（8，0）、B（0，4）， ∴在Rt△AOB中，AB＝， △OAB的周长为OA+OB+AB＝12+4， 联立，解得， ∴C点坐标为（2，3）， 又∵将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点D， ∴D点坐标为（3，﹣3）； （2）作点 D关于y 轴的对称点，连接CD′交y轴于点P′，连接P′D，此时CP+PD最小， 设直线CD′的解析式为y＝kx+b， 把点C（2，3），D′（﹣3，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线CD′的解析式为y＝， 当x＝0时，y＝， ∴P′的坐标为（0，）， 即当CP+PD最小时，点P的坐标为（0，）； 练1.3．如图1，已知直线AC：y＝﹣x+b1和直线AB：y＝kx+b2交于x轴上一点A，且分别交y轴于点C、点B，且OB＝2OC＝4． （1）求k的值； （2）如图1，点D是直线AB上一点，且在x轴上方，当S△ACD＝9时，在线段AC上取一点F，使得CF＝FA，点M，N分别为x轴、y轴上的动点，连接NF，将△CNF沿NF翻折至△C′NF，求MD+MC′的最小值； 【解答】解：（1）OB＝2OC＝4，则点B、C的坐标分别为：（0，﹣4）、（0，2）， 将点C的坐标代入AC：y＝﹣x+