专题11 一次函数背景的存在性-直角三角形（解析版）.doc

初中数学函数专题--一次函数 第11节 一次函数背景的存在性--直角三角形 内容导航 方法点拨 一、直角三角形的存在性 1、勾股定理及其逆定理 若▲ABC为直角三角形，那么：。 （2）若，那么：▲ABC为直角三角形。 2、直线与斜率的关系 在平面直角坐标系中，若两直线垂直，（） 二、等腰直角三角形的存在性 第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB（AAS）所以，AB=CE，AD=CB 第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。 例题演练 1．如图，已知一次函数y1＝4x+b的图象与x轴、一次函数y2＝x﹣2的图象分别交于点C，D，点D的坐标为（﹣2，m）．若在x轴上存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形，请写出点E的坐标　（﹣2，0）或（﹣18，0）　． 【解答】解：∵点D（﹣2，m）在一次函数y＝x﹣2上， ∴m＝﹣2﹣2＝﹣4， ∴点D的坐标为（﹣2，﹣4）， ∵点D（﹣2，﹣4）在一次函数y＝4x+b上， ∴﹣4＝4×（﹣2）+b，得b＝4， ∴一次函数y＝4x+4， 当y＝0时，x＝﹣1， ∴点C的坐标为（﹣1，0）， 如图，当点E为直角顶点时，过点D作DE1⊥x轴于E1， ∵D（﹣2，﹣4）， ∴E1（﹣2，0）； 当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E； 当点D为直角顶点时，过点D作DE2⊥CD交x轴于点E2， 设E2（t，0）， ∵C（﹣1，0），E1（﹣2，0）， ∴CE2＝﹣1﹣t，E1E2＝﹣2﹣t， ∵D（﹣2，﹣4）， ∴DE1＝4，CE1＝﹣1﹣（﹣2）＝1， 在Rt△DE1E2中，DE22＝DE12+（E1E2）2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20， 在Rt△CDE1中，CD2＝12+42＝17， 在Rt△CDE2中，CE22＝DE22+CD2， ∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17． 解得t＝﹣18． ∴E2（﹣18，0）； 由上可得，点E坐标为（﹣2，0）或（﹣18，0）， 故答案为（﹣2，0）或（﹣18，0）． 二．解答题（共12小题） 2．一次函数y＝x+3的图象分别交x、y轴于A、B两点，是否在坐标轴上存在一点C使得△ABC为直角三角形？若有，请求出C点的坐标． 【解答】解：存在，理由如下： 一次函数y＝x+3， 当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝﹣3， ∴B（0，3），A（﹣3，0）， ∴OA＝3，OB＝3， ∴tan∠ABO＝＝， ∴∠ABO＝60°， ∴∠OAB＝30°， 分三种情况：如图所示： ①当∠ABC＝90°时，∠ACB＝60°， ∴OC＝＝＝， ∴C（，0）； ②当∠ACB＝90°时，C与O重合， ∴C（0，0）； ③当∠BAC＝90°时，∠ACO＝60°， ∴OC＝OA＝3×3＝9， ∴C（0，﹣9）； 综上所述：存在一点C使得△ABC为直角三角形，C点的坐标为（，0）或（0，0）或（0，﹣9）． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B． （1）求点B的坐标； （2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由； （3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点， ∴m＝﹣1﹣2＝﹣3． ∴点A的坐标为（1，﹣3）， ∴点A向上平移5个单位长度得到点B的坐标为（1，2）； （2）存在， ①当∠B＝90°时，如图， ∵B（1，2），C点在y＝﹣x﹣2上， ∴2＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣4， ∴C（﹣4，2）， ∴BC＝5， ∵点A向上平移5个单位长度得到点B， ∴AB＝BC＝5， ∴∠CAB＝45°， ②当∠ACB＝90°时，作CG⊥AB于G， ∵∠CAB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴G为AB中点， ∵点A的坐标为（1，﹣3），点B的坐标为（1，2）， ∴G（1，﹣0.5） ∵点C在y＝﹣x﹣2上， ∴﹣0.5＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣1.5， ∴C（﹣1.5，﹣0.5）． 综上，存在一点C，使得△ABC是直角三角形，C点坐标为（﹣4，2）或（﹣1.5，﹣0.5）； （3）当直线y＝kx﹣2过点A（1，﹣3）时， 得﹣3＝k﹣2，解得k＝﹣1． 当直线y＝kx﹣2过点B（1，2）时， 得2＝k﹣2，解得k＝4． 如图，若一次函数y＝kx﹣2与线段AB有公共点，则k的取值范围是﹣1≤k≤4且k≠0． 4．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D