专题07 一次函数背景的最值-胡不归（垂线段最短）问题（解析版）.doc

初中数学函数专题--一次函数 第7节 一次函数背景的最小值--胡不归（垂线段最短）问题 内容导航 方法点拨 一、胡不归求最值 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记， 即求BC+kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 例题演练 例1．1．如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度． （1）求直线l2的解析式； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值； 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝， ∴B（0，）， ∴OB＝， ∵∠OBC＝30°， ∴OC＝BO?tan30°＝×＝1， ∴C（1，0）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， 则， ∴， ∴直线l2的解析式为y＝﹣x+； （2）令y＝0，则x+＝0， ∴x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∴tan∠ABO＝＝＝， ∴∠ABO＝60°， ∴∠ABC＝90°， ∴C点关于直线l2的对称点C在l2上， 如图1，过点C作CK⊥y轴交K点， ∵∠KBC＝∠CBO，∠CKB＝∠BOC，BC＝BC， ∴△CKB≌△COB（AAS）， ∴BK＝BO＝， ∴C的纵坐标为2， ∴﹣x+＝2， ∴x＝﹣1， ∴C（﹣1，2）， 连接CE交l1于F， ∵EF+CF＝EF+CF≥CE， ∴当C、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为CE， 设直线CE的解析式为y＝kx+b， ∵E（5，0），C（﹣1，2）， 则， ∴， ∴y＝﹣x+， 联立， 解得x＝1， ∴F（1，）， 作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q， 在Rt△PQO中，∠POQ＝45°， ∴OP＝PQ， ∴＝PF+PQ≥FQ， 当P、F、Q三点共线时，的值最小， 过F作FG⊥x轴交l3，于点G， ∴△FQG为等腰直角三角形， ∴FQ＝FG， ∵l3，的解析式为y＝﹣x， ∴G（1，﹣1）， ∴FG＝1+， ∴FQ＝+， ∴的最小值为+； 练1.1．【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1?k2＝﹣1．反过来，若两条直线的斜率之积k1?k2＝﹣1，则直线l1⊥l2． 【运用】请根据以上材料解答下列问题： （1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM+MF的最小值． 【解答】解：（1）设直线的解析式为y＝2x+b， 将A（1，3）代入得b＝1， ∴直线的解析式为y＝2x+1， 将B（m，﹣5）、C（3，n）两点分别代入解析式， 得m＝﹣3，n＝7； （2）设点P（0，y），当∠APC为直角时，有KPA?KPC＝﹣1， 由（1）知，A（1，3）、C（3，7）， ∴， 解得y＝4或y＝6， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，6）． （3） 如图，连接DE，由题意知，KAB＝2，，， ∵KAB＝KDE，， ∴AB∥DE，AB⊥DA，DE⊥DA， ∴，，， ∴， ∴， 过M作MN⊥GF于N，则， ∴， 过点D做DH⊥GE于H，则DH即为最小值．由DH?GE＝DG?DE， 得DH＝4， 即的最小值为4． 练1.2．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P（0，10）．如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标． 【解答】解：（1）如图1中，设△OAB向右平移m个单位，则沿y轴向上平移m个单位， ∴E（4+m，m），C（m，m），