专题14 圆锥曲线的切线问题（解析版）【二级结论速解】备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案.docx

专题14 圆锥曲线的切线问题 一、结论 圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法： 比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据来求解； 比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式： 1.过圆:上一点的切线方程为. 2.过椭圆上一点的切线方程为. 3.已知点,抛物线:和直线:. (1)当点在抛物线上时,直线与抛物线相切,其中为切点,为切线. (2)当点在抛物线外时,直线与抛物线相交,其中两交点与点的连线分别是抛物线的切线,即直线为切点弦所在的直线. (3)当点在抛物线内时,直线与抛物线相离. 二、典型例题 1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（??） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】 设，由题意得，过点B的切线l的方程为：， 令，可得，令，可得， 所以面积， 又点B在椭圆上，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最小值为. 故选：C 【反思】过椭圆上一点作切线，切线方程为：，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式. 2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（???????） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：B 【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为注意不要带错，通过对比本题信息，，，，，将这些数字代入公式，可求出切线，再利用直线垂直的性质求解. 3．（2022·江苏南通·一模）过点作圆的切线交坐标轴于点、，则_________. 【答案】 【详解】 圆的圆心为，， 因为，则点在圆上，所以，， 所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即， 直线交轴于点，交轴于点， 所以，，，因此，. 故答案为：. 另解：过圆:上一点的切线方程为.可知，；，,代入计算得到过点作圆的切线为：，整理得：，直线交轴于点，交轴于点， 所以，，，因此，. 故答案为：. 【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。 4．（2021·全国·高三专题练习（文））过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为___． 【答案】1 【详解】 设切线斜率为，则切线方程， 联立方程可得， 则，解得， 即切线方程为， 取，得． ∴切线在轴上的截距为1． 故答案为：1． 另解：点在抛物线上，直接使用二级结论公式：已知点在抛物线:上，切线方程:，，，，代入得：，取，得． 【反思】本例中，提供了传统方法和二级结论的方法，抛物线的切线可以通过联立，有时求导也能解决，当切点在抛物线上时也可以直接使用本节二级结论，但是同学们使用公式前注意判断是否适用. 5．（2022·江苏徐州·高二期末）已知圆. (1)过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】(1)； 【解析】 (1)圆，圆心，半径， 又点的坐标满足圆方程，故可得点在圆上，则切线斜率满足， 又，故满足题意的切线斜率， 则过点的切线方程为，即. 【反思】本题求圆的切线问题，作为解答题，不推荐使用二级结论的公式，建议同学们使用传统的方法. 三、针对训练 举一反三 1．（2021·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程是（???????） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意点为切点，所以，又，所以，因此直线l的方程为． 故选：D 2．（2022·全国·高三专题练习（理））若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（???????） A． B． C．(1，＋∞) D．(1，3] 【答案】A 【详解】 根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故选：A. 3．（2021·浙江·台州一中高三期中）过点且与圆相切的直线方程为（??） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为，所以点M在圆上，而