专题08 基本不等式综合必刷100题(解析版).docx

专题08 基本不等式综合必刷100题 任务一:善良模式(基础)1-40题 一、单选题 1．已知均为正实数，且满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，结合基本不等式求得，再利用对数的运算，即可求解. 【详解】 由均为正实数，且满足， 可得，当且仅当时，等号成立， 则，即的最大值为. 故选：C 2．已知，，且，则最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据条件将多项式写成的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由题知，， 当且仅当，即，时，等号成立， 故选：B 3．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（ ） A．3 B．8 C．4 D．9 【答案】D 【分析】 根据两圆公切线的性质，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】 因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线， 所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知， 当且仅当a2＝2b2时等号成立． 故选：D. 4．已知，，且，则的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11 D． 【答案】A 【分析】 利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】 ，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为9． 故选：A． 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．已知，函数在处的切线与直线平行，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到，进而结合均值不等式即可求出结果. 【详解】 因为，则，因为切点为，则切线的斜率为，又因为切线与直线平行，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是， 故选：C. 6．已知直线与圆相切，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由直线与圆相切可得，然后利用均值不等式可得，从而可求的最大值. 【详解】 解：因为直线与圆相切， 所以，即， 因为，所以， 所以， 所以的最大值为， 故选：D. 7．若，且，则下列结论中正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】A 【分析】 根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可 【详解】 对于A，因为，且，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以A正确， 对于B，，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以B错误， 对于C，因为，且，所以，所以，由选项B的解答可知，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以C错误， 对于D，因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，所以D错误， 故选：A 8．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】 根据题意可得，由，展开利用基本不等式即可求解. 【详解】 由，可得， ， 当且仅当且，即时等号成立． 故选：C． 9．已知在中，动点C满足，其中，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，然后利用均值不等式即可求解. 【详解】 解：由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故选：C. 10．若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由，令，利用不等式的性质即可求得的范围． 【详解】 解：， 又， ，令， 则， ，即，当且仅当时，取等号， 的取值范围是，． 故选：A． 11．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】 由x2+2xy-3=0，可得y=，则2x+y=2x+，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】 解：∵x2+2xy-3=0，∴y=， ∴2x+y=2x+2=3， 当且仅当，即x=1时取等号. 故选：B. 12．已知，，则的最小值是（