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专题08 基本不等式综合必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-40题
一、单选题
1.已知均为正实数,且满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据题意,结合基本不等式求得,再利用对数的运算,即可求解.
【详解】
由均为正实数,且满足,
可得,当且仅当时,等号成立,
则,即的最大值为.
故选:C
2.已知,,且,则最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
根据条件将多项式写成的形式,利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由题知,,
当且仅当,即,时,等号成立,
故选:B
3.已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为( )
A.3 B.8 C.4 D.9
【答案】D
【分析】
根据两圆公切线的性质,结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
因为圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,
所以两圆相内切,其中C1(-2a,0),r1=2;C2(0,b),r2=1,故|C1C2|=,由题设可知,
当且仅当a2=2b2时等号成立.
故选:D.
4.已知,,且,则的最小值为( )
A.9 B.10 C.11 D.
【答案】A
【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求的最小值,然后展开利用基本不等式求解.
【详解】
,,又,且,
,
当且仅当,解得,时等号成立,
故的最小值为9.
故选:A.
【点睛】
易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
5.已知,函数在处的切线与直线平行,则的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【分析】
结合复合函数求导求出函数的导函数,进而求出切线的斜率,然后根据两直线平行斜率相等得到,进而结合均值不等式即可求出结果.
【详解】
因为,则,因为切点为,则切线的斜率为,又因为切线与直线平行,所以,即,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,则的最小值是,
故选:C.
6.已知直线与圆相切,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
由直线与圆相切可得,然后利用均值不等式可得,从而可求的最大值.
【详解】
解:因为直线与圆相切,
所以,即,
因为,所以,
所以,
所以的最大值为,
故选:D.
7.若,且,则下列结论中正确的是( )
A.的最大值是 B.的最小值是
C.的最小值是 D.的最小值是
【答案】A
【分析】
根据已知条件,结合基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
对于A,因为,且,所以,所以,当且仅当时取等号,所以的最大值是,所以A正确,
对于B,,且,所以,即,当且仅当时取等号,所以的最大值是,所以B错误,
对于C,因为,且,所以,所以,由选项B的解答可知,所以,当且仅当时取等号,所以的最小值是,所以C错误,
对于D,因为,且,所以,当且仅当,即时取等号,所以的最小值为,所以D错误,
故选:A
8.已知a,b为正实数,且满足,则的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
【答案】C
【分析】
根据题意可得,由,展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
由,可得,
,
当且仅当且,即时等号成立.
故选:C.
9.已知在中,动点C满足,其中,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
由题意可得A,B,C三点共线,且C点在线段上,于是,且,然后利用均值不等式即可求解.
【详解】
解:由题意可得A,B,C三点共线,且C点在线段上,于是,且,
所以,
当且仅当,即,时取等号,
故选:C.
10.若实数满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
由,令,利用不等式的性质即可求得的范围.
【详解】
解:,
又,
,令,
则,
,即,当且仅当时,取等号,
的取值范围是,.
故选:A.
11.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )
A.1 B.3
C.6 D.12
【答案】B
【分析】
由x2+2xy-3=0,可得y=,则2x+y=2x+,再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解:∵x2+2xy-3=0,∴y=,
∴2x+y=2x+2=3,
当且仅当,即x=1时取等号.
故选:B.
12.已知,,则的最小值是(
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