专题13 焦点三角形的面积公式(原卷版)【二级结论速解】备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案.docx

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专题13 焦点三角形的面积公式 一、结论 1、椭圆中焦点三角形面积公式 在椭圆()中,,分别为左、右焦点,为椭圆上一点,,的面积记为,则: ① ② ③,其中. 2、双曲线中焦点三角形面积公式 在双曲线(,)中,,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,,的面积记为,则: ① ② ③ 注意:在求圆锥曲线中焦点三角形面积时,根据题意选择适合的公式,注意结合圆锥曲线的定义,余弦定 理,基本不等式等综合应用. 二、典型例题 1.(2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末)已知、是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,,则的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 由椭圆的方程可得,,,则, 因为,则, 即,即,解得, 因此,. 故选:D. 另解:根据焦点三角形面积公式,求,其中,由题意知,,代入 【反思】焦点三角形问题,常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义,利用定义,余弦定理求解,特别提醒,在圆锥曲线中,定义是解题的重要工具.另外作为二级结论,要特别注意记忆表示的是哪个角. 2.(2022·吉林吉林·高三期末(理))已知P是椭圆上一动点,,是椭圆的左、右焦点,当时,;当线段的中点落到y轴上时,,则点P运动过程中,的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 设. 在中,当时,由椭圆的定义,余弦定理得: 整理得: 由三角形的面积公式得:,解得:. 因为线段的中点落到y轴上,又O为的中点,所以轴,即. 由,得,解得:,所以, 代入椭圆标准方程得:. 又有,解得:,所以椭圆标准方程为:. 所以. 因为,所以. 所以. 因为, 当时,, 所以. 故选:A. 另解:根据焦点三角形面积公式,求,其中,由题意知,代入公式,又当线段的中点落到y轴上时,,可知,从而有,,且,进一步有:所以椭圆标准方程为:. 所以. 因为,所以. 所以. 因为, 当时,, 所以. 故选:A. 【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路: ①几何法:利用图形作出对应的线段,利用几何法求最值; ②代数法:把待求量的函数表示出来,利用函数求最值. 3.(2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习)已知双曲线,过原点的直线与双曲线交于,两点,以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点,若的面积为,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D. 【答案】B 【详解】 解:设双曲线的左焦点为,连接,, 因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点, 所以,圆心为,半径为, 根据双曲线的对称性可得四边形是矩形,设,, 则,由可得, 所以,所以,所以. 故选:B. 另解:解:设双曲线的左焦点为,连接,, 因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点, 所以,且,根据双曲线焦点三角形面积公式:得:,结合,得. 【反思】在双曲线中,涉及焦点三角形,优先联想到定义,即,结合余弦定理求解,对于适合利用焦点三角形公式的题目,可直接利用公式. 4.(多选)(2022·广东·模拟预测)已知双曲线C:的左、右焦点分别为,点双曲线C右支上,若,的面积为,则下列选项正确的是(???????) A.若,则S= B.若,则 C.若为锐角三角形,则 D.若的重心为G,随着点P的运动,点G的轨迹方程为 【答案】ACD 【详解】 由,得,则 焦点三角形的面积公式,将代入可知,故A正确. 当S=4时,,由,可得,故 B错误. 当时,S=4,当时,,因为为锐角三角形,所以,故C正确. 设,则,由题设知,则,所以,故D正确. 故选:ACD 【反思】在双曲线中,涉及焦点三角形,优先联想到定义,即,结合余弦定理求解,对于适合利用焦点三角形公式的题目,可直接利用公式. 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1.(2022·福建漳州·高二期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上,若,则的面积为(???????) A. B. C. D. 2.(2022·福建南平·高二期末)椭圆两焦点分别为,,动点在椭圆上,若的面积的最大值为12,则此椭圆上使得为直角的点有(???????) A.个 B.个 C.个 D.个 3.(2022·江西鹰潭·高二期末(文))椭圆C:的焦点为,,点P在椭圆上,若,则的面积为(???????) A.48 B.40 C.28 D.24 4.(2022·安徽省亳州市第一中学高二期末)设是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且.则的面积为(???????) A.6 B. C.8 D. 5.(2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末(理))椭圆的左右焦点为?,为椭圆上的一点,,则的面积为(???????) A.1 B. C. D.2 6.(2021·北京市第五十七中学高二阶段练习)已知椭圆:,,分别为它的左右焦点,,分别为它的左右顶点,点是椭圆上的一个动点

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