复件第六章-代数系统2zhou.pptxVIP

　　　　6.3 同态与同构 定义6.3.1 设X，⊙与Y，*是同类型的。称X，⊙同态于Y，*或Y，*为X，⊙的同态象，记为X，⊙ ~ Y，*，其定义如下： X，⊙ ~ Y，*：(?f )(f ∈YX∧(?x1)(?x2)(x1，x2∈X → f(x1⊙x2)= f(x1)*f(x2))) 其中YX表示从Ｘ到Ｙ的函数．;两个同类型的代数结构间的同态定义不仅适用于具有一个二元运算的代数结构，也可以推广到具有多个二元运算的任何两个同类型代数结构。例如，对于具有两个二元运算的两个同类型代数结构X，⊙， *和Y，?，?的同态定义如下： X，⊙， * → Y，?，?：(?f )(f∈YX∧(?x1)(?x2) (x1，x2∈X →(f(x1⊙x2)= f(x1)?f(x2)∧f(x1*x2)= f(x1)?f(x2) 同样，f称为从X，⊙， *到Y，?，?的同态映射。; 例6.3.2 给定Z，+，×，其中Z为整数集合，+和×是一般的加法和乘法运算。又有Zm，+m，×m， 这里Zm={0，1，2，…，m-1}，+m和×m分别是模m加法和模m乘法，它们详细定义如下: a +m b = (a+b)(mod m) a ×m b = (a×b)(mod m) 其中a，b∈Zm; 现在定义函数f∈ZmZ: f(i)=(i)(mod m)， 其中i∈Z 试证 Z，+，× ~ Zm，+m，×m。 定理6.3.1 如果X，⊙ ~ Y，*且f为其同态映射，则R (f )，*是Y，*的子代数系统。 由于函数f∈YX的不同性质，将给出不同种类的同态定义。 ;定义6.3.2 设X，⊙ ~ Y，*且f为其同态映射。 (i)如果f为满射，则称f是从X，⊙到Y，*的满同态映射。 (ii)如果f为单射(或一对一映射)，则称f为从X，⊙到Y，*的单一同态映射。 (iii)如果f为双射(或一一对应)，则称f为从X，⊙到Y，*的同构映射。 显然，若f是从X，⊙到Y，*的同构映射，则f为从X，⊙到Y，*的满同态映射及单一同态映射，反之亦然。; 例6.3.3 设Σ*，∥与N，+是同类型的，其中Σ*为有限字母表上的字母串集合，∥为并置运算，N为自然数集合，+为普通加法。若定义f：Σ*→N为 f(x)= | x | 其中x∈Σ* 这里| x |表示字母串的长度。 因为对任意x，y∈Σ*，有f(x∥y )= | x∥y | = | x | + | y | = f(x)+ f(y)，故Σ*，∥ ~ N，+。 显然，f是满射，因此，f为从Σ*，∥到N，+的满同态映射。;定理6.3.2 给定X，⊙，* ~ Y，?，?且f为其满同态映射，则 (a)如果⊙和*满足结合律，则?和?也满足结合律。 (b)如果⊙和*满足交换律，则?和?也满足交换律。 (c)如果⊙对于*或*对于⊙满足分配律，则?对于?或?对于?也相应满足分配律。 (d)如果⊙对于*或*对于⊙满足吸收律，则?对于?或?对于?也满足吸收律。;(e)如果⊙和*满足等幂律，则?和?也满足等幂律。 (f)如果e1和e2分别是关于⊙和*的幺元，则f(e1)和f(e2)分别为关于?和?的幺元。 (g)如果θ1和θ2分别是关于⊙和*的零元，则f(θ1)和f(θ2)分别为关于?和?的零元。 (h)如果对每个x∈X均存在关于⊙的逆元x -1，则对每个f(x)∈Y也均存在关于?的逆元f(x -1)；如果对每个z∈X均存在关于*的逆元Z -1，则对每个f(z)∈Y也均存在关于?的逆元f(z -1)。;定义6.3.3 设X，⊙与Y，*是同类型的。称X，⊙同构于Y，*，记为X，⊙ ≌ Y，*，其定义如下： X，⊙ ≌ Y，*：(?f )(f为从X，⊙到Y，*的同构映射或更详细地定义为： X，⊙ ≌ Y，*：(?f )(f ∈YX∧f为双射∧f为从X，⊙到Y，*的同态映射) 由定义可知，同构的条件比同态强，关键是同构映射是双射，即一一对应。而同态映射不一定要求是双射。正因为如此，同构不再仅仅象满同态那样对保持运算是单向的了，而对保持运算成为双向的。两个同构的代数，表面上似乎很不相同，但在结构上实际是没有什么差; 别，只不过是集合中的元素名称和运算的标识不同而已，而它们的所有发生“彼此相通”。这样，当探索新的代数结构的性质时，如果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性质已知的代数结构，便能直接地知道新的代数结构的各种性质了。对于同构的两个代数系统来说，在它们的运算表中除了元素和运算的标记不同外，其它一切都是相同的。因此，可以根据这些特征来识别同构的代数系统。;例6.3.5 令F，○与Z4，+4是同类型的，其中F={f 0，f 1，f 2，f 3}，“○”定义如表6.3.1