《工程力学》教学PPT课件电子讲义.ppt

11.1 应力状态的概念 应力状态的分类 1. 单向应力状态：只有一个主应力不等于零 2. 二向应力状态 ：两个主应力不等于零 3.空间应力状态 ： 三个主应力均不等于零 通常将单向和二向应力状态称为平面应力状态，将二向和三向应力状态称为复杂应力状态。 ?1 ?1 ?2 ?2 ?1 ?1 ?3 ?1 ?2 ?2 ?3 ?1 11.2 平面应力状态分析 x ?x y z ?y ?x ?y ?x ?y ?x ?y 平面应力状态的普遍形 式如图所示 .单元体上 有?x ,?x 和? y ,? y 符号规定： 正应力仍规定拉应力?为正 切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转?为正 由x轴转到外法线n,逆时针转向时?为正 一、解析法 1.斜截面上的应力 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分eaf 作为研究对象 x y a ?x ?x ?y ?x e f a ?x ?x ?y ?y ?α ?α α n α 设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos?, a-f 的面积 为dAsin? 11.2 平面应力状态分析 e f α 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得 e f a ?x ?x ?y ?y ?α ?α α n α 化简以上两个平衡方程最后得 11.2 平面应力状态分析 t 11.2 平面应力状态分析 2.最大正应力及方位 令 ?0 和 ?0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力 所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面. 最大正应力 将 ?0和 ?0+90°代入公式 最大正应力方位 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为 上式称为梁的挠曲线近似微分方程。 若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 积分常数的确定：边界条件和连续条件 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 A B 在简支梁中, 左右两铰支座处的挠度 在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角 A B A B 在外伸梁中, A、B两支座处的挠度 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁，在自由端受一集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度和最大转角。 w A B x F x 解： （1） 弯矩方程为 （2） 挠曲线近似微分方程为 对挠曲线近似微分方程进行积分 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 边界条件 将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 都发生在自由端截面处 和 （ ） （ ） 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 例题2 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角. FRA FRB A B F D a b l x2 x1 解: 梁的支反力为 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 两段梁的弯矩方程分别为 两段梁的挠曲线方程分别为 AD段：（0 ?x1 ? a） 挠曲线方程 转角方程 挠度方程 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 DB段：（a ?x2 ? l） 挠曲线方程 转角方程 挠度方程 D点的连续条件 在 x1=x2= a 处 边界条件 在 x1 = 0 处, 在 x2 = l 处, 代入方程可解得: 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 AD段：（0 ?x1 ? a） DB段：（a ?x2 ? l） 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程,得左右两支座截面的转角 当 a b 时, 右支座截面的转角绝对值为最大 简支梁的最大挠度应在 处 先研究AD段梁,令 得 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 当 a b时, x0 a 最大挠度确实在AD段 梁中点 C 处的挠度为 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 结论:对于简支梁, 不论它受什么荷载作用, 只要其挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的. 10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 10.3 叠加法求梁的转角和挠度 叠加法的原理：梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 1.载荷叠加 2.结构形式叠加（分段刚化法） 例题3 一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试用叠加法求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角?A , ?B 。 A B C q Me l 10.3 叠加法求梁的转角和挠度