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爽 爽W彳淋席￡妃# “核辅餐持祜灰恥史乡成」秦格 2 /奥数教程（第六版）学习手册 2 /奥数教程（第六版）学习手册?高三年级 爽W彳淋席￡妃# “核辅餐持祜灰恥史乡成」秦格 爽 爽ii■阳疙4妃鸟核辅资■持祜灰肽史.多资■持 习题详细解答 TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document 第1讲排列与组合 1 第N讲二项式系数 4 \o Current Document 第M讲计数:对应与递推 9 \o Current Document 第4讲计数:容斥原理 14 第5讲组合问题 17 第6讲 数的整除 21 第7讲素数 26 \o Current Document 第/讲 同余（一） 30 第。讲 不定方程（一） 33 第亿讲数论问题 37 \o Current Document 第〃讲 多项式的运算与整除 40 第华讲多项式的零点 42 第若讲整系数多项式 45 \o Current Document 第以讲 多项式的插值与差分 47 \o Current Document 第洛讲单位根及其应用 49 第，6讲生成函数方法 51 第〃讲 集合与子集族 53 第〃讲图论问题 56 第，歹讲 同余（二） 59 目 录/ 1 62第勿讲不定方程（二） 62 TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document 综合练习 65 专题选讲 专题1 组合问题 81 专题2数论问题 109 第/讲 排列与组合 1 (i) Pl； (ii) 63. 所求的数目等于1，2, 9的7-排列数减去8, 9相邻 的排列数.这是2! X6XE = 151 200. （8, 9相邻的7-排列 数可这样确定:第一步，取1,2,…，7的一个5-排列，有P?种方 法;第二步，将8, 9看作一个整体插在5-排列的首、尾或任两个数 字之间，有6种方法;最后，将8, 9作全排列有2!种方法，由乘法原 理知这样的排列数是2! X6XP?.） 3 6个歌唱节目有6!种排法，每一种排法产生7个“空 档”，将4个舞蹈节目插入这7个“空档”，共有P￥种方法.因此节 目单有6! H种排法. O由有重复元素的全排列公式知,共有房F种方案. 5易知,所说的“单词”可分为三类：2个a, 3个c; 2个a, 1个们2个c; 1个a, 1个们3个c.于是由加法原理及有重复元 素的全排列公式知，所求数目为湍缶+ 2TTI2! + nils! = 60- 0 先让男生围成一圈，由圆周排列公式知共有3 — 1）!种 方法.每两个男生之间都有一个空位，共有n个.现在让n个女生 在这〃个空位上排列,有！种方法.所以共有（〃一1）!汨种排法. （应当注意，当男生排好之后，女生的排法便是（直线）排列,而不能 再看作圆周排列.） 习题详细解答7显然，有两个球放入一盒，而其余球各放入一盒.第一 习题详细解答 第1讲排列与組合/ 1 步，在〃+1个球中取两个，有（”;1）种方法;第二步，将这两个 球视为一体,与其余n — \个球放入n个（不同的）盒子中，有n\种 方法.故共有（；）浏=瑚3 + 1）!种放法. ?■掷出的结果是1, 2,…，6的一个虹可重组合.故所求的 数目等于 9将所说的整数被3除得的余数分为三类：A={3, 6, ?,,, 300）, B ={2, 5,…，299}, C = {1, 4,…,298},所取的 三个数之和被3整除有四种情况:三数同属A、B、。之一或三数 分别取自A、B、C.由加法原理，取法共有3（、）+ 1003种. CO设五个点为、A2、4、4、A5.两两连成的直线有 5 5 （2）=10条.每三点构成一个三角形，共有（3）=10个三角形.由 /4\ 其中任四点可连（2）=6条直线，自另一点可作这6条直线的垂 30 线，故总共可作5X6-30条垂线.这些垂线至多有（2）= 435个 交点.但在上述10条连线的每一条上有三条垂线互相平行（没有 交点），因而应减去30个交点;此外,10个三角形中每三条高交于 一点，因而又要减去20个交点；而每个点A都是6条垂线的交 点,所以还要减去5（；） = 75个交点.最后得交点至多为310个. 11设\ A\ = k,则由条件⑴可知|B| = 12—由于 非空，故为尹。，12.由条件⑶可知k^A, 12-k^B.故由（1）可 知 k e b , 12—k e a. 显然b手6,否则6 e B,且6 = 12-66 A,与条件（2）不符合. 对每个k ^#6）,已确定了 12-^e A,及作 B,故A的其余 —1个元素，在A U B集合中除去上及12 一 ”剩 下的10个元素中选取，共有（「°,）种取法;再由条件（1）可唯一 k —