运筹学整数规划与分配问题..pptVIP

第四章 整数规划及分配问题作 业 一 求下面指派问题的最优解 31页，共42页，星期二。 第三节 分枝定界法 第四章 整数规划及分配问题 32页，共42页，星期二。 三、分枝定界法3.1 分枝定界法的基本思想 分枝定界法可用于全部类型的整数规划问题。 设有最大化的整数规划问题A，对应的线性规划为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，记作 ；而A的任意可行解的目标函数值将是z*的下界 。分支定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法，逐步减小和增大上、下界，最终得到整数规划问题A的z*。 33页，共42页，星期二。 三、分枝定界法3.2 分枝定界法实例(1) 求解B：其最优解为x1 = 3.25，x2 = 2.5，最优目标函数值为z* = 14.75 松弛问题 定界：令x1 = 0，x2 = 0 作为初始整数解，其 z = 0，因此 。 34页，共42页，星期二。 分枝：在B的最优解中，任取一个非整数变量，如 x2 = 2.5；因 x2 的最近邻整数解为 x2 = 2或 x2 = 3，其最优整数解区间只能是 x2 ≥ 3或 x2 ≤ 2。对B分别加上约束条件 x2 ≥ 3和 x2 ≤ 2，可得到两个子问题B1和B2。 三、分枝定界法3.2 分枝定界法实例(2) 35页，共42页，星期二。 定界： 用图解法可得B1的最优解为(3.5, 2), z1 = 14.5； B2的最优解为(2.5, 3), z2 =13.5。没有整数最优解，上界 其下界没有整数解， z1 z2，对B1再次分枝。 三、分枝定界法3.2 分枝定界法实例(3) 36页，共42页，星期二。 三、分枝定界法3.2 分枝定界法实例(4) 再次分枝定界： B11的最优解为(3, 2), z11 = 13; B12的最优解为(4, 1), z12 = 14。 这两个最优解都是A的可行解，此时A的上界和下界分别为14.5和 14。 得最优解： (4, 1)，Z* = 14。 37页，共42页，星期二。 三、分枝定界法3.2 分枝定界法 — 剪枝 B x1=3.25 x2=2.5 Z =14.75 B1 x1=3.5 x2=2 Z = 14.5 B2 x1=2.5 x2=3 Z =13.5 B11 x1=3 x2=2 Z =13 B12 x1=4 x2=1 Z =14 × × x2 ≤ 2 x2 ≥ 3 x1 ≤ 3 x1 ≥ 4 将各子问题边界值与保留 的可行解的值进行比较。 把边界值劣于可行解的分 支减去。若除保留的可行 解外，其他的分支均被减 去，则得到最优解。 38页，共42页，星期二。 三、分枝定界法3.3 分枝定界法的解题思路 分枝定界法实际上是一种利用替代问题的解来逐渐逼近原问题最优解的方法； 对替代问题的要求是：容易求解，且原问题的解集应无例外地包含在替代问题的解集中； 如果替代问题(松弛)的最优解是原问题的可行解，这个解就是原问题的最优解；否则这个解的值是原问题最优解的上界(求极大时)或下界值(求极小时)。 39页，共42页，星期二。 三、分枝定界法3.4 分枝定界法的解题步骤(1) 解松驰问题B： B没有可行解，这时A也没有可行解，停止。 B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A的最优解，停止。 B有最优解，但不符合问题A的整数条件，将B的目标函数值为问题A的上界。 用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj = 0，j=1,…,n，求得其目标函数值，作为A的下界，开始迭代运算。 40页，共42页，星期二。 三、分枝定界法3.4 分枝定界法的解题步骤(2) 分枝与定界： 分枝：在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj。其值为bj，以[bj]表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件xj ≤ [bj]和xj ≥[bj + 1]，将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。求解这两个后继松弛问题。 定界：比较所有后继问题的最优解，最大的为A的新上界，从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界，若无可行解，令下界 = 0。 41页，共42页，星期二。 三、分枝定界法3.4 分枝定界法的解题步骤(3) 比较与剪枝： 各分支的最优目标函数若小于第三步得到的下界，则剪掉此分枝(用打×表示)，以后不再考虑。 若大于下界，且不符合整数条件，则重复第三步，选取所有边界值最优的分枝进行分枝与定界，一直到最后得到z* = A的下界为止，此时得到最优解。 42页，共42页，星期二。 * * 对于很多管理问题，无法归结为线