7-6.2.4向量的数量积(第1课时)优秀教学设计.docx

课题：6.2.4 向量的数量积（第1课时） 合肥市第一中学 毛巍 第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积 (一)课时教学内容 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性质。 向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。 (二)课时教学目标和目标解析 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 4.数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题. (三)教学重点与难点 1..教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量； 2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。 (四)教学过程设计 1.复习回顾，温故知新 向量的数乘的定义： 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ； 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。 向量的数乘运算律： 设、为任意向量，、为任意实数，则有： （1） （2） （3） 设计意图：通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 2.创设问题情境，提出研究问题 问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 问题2：两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 3、探索新知，整体认知 问题1： 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 问题2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ 标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。 设计意图：通过思考，由物理知识引入本节知识，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 向量的夹角的定义： 已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则 叫做向量的夹角。 显然，当时，同向；当时，反向。 如果的夹角是，我们就说垂直，记作。 思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 设计意图：通过思考，建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。 数量积的定义： 已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即。 规定：零向量与任一向量的数量积为。 说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定. 中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”； 运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是。 问题4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 当时， 为正； 当时， 为负； 当时， 为零。 结论：数量积符号由的符号所决定。 设计意图：通过思考，让学生进一步理解数量积的定义，提高学生理解问题的能力。 4.初步应用，例题选讲 例1.已知的夹角，求 。 例2.设，求的夹角。 设计意图：通过例题巩固数量积的定义，提高学生解决问题的能力。 投影向量的定义： 如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的投影向量。 如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则 就是向量在向 量上的投影向量。 探究：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为， 那么与之间有怎样的关系？ 。 综上可得，对于任意的，都有。 探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？ 设计意图：通过探究，进一步理解投影向量，提高学生的观察、概括能力。 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量， 则： （1）， （2） （3）当向量共线同向时，；