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2022年-2023年
2022年-2023年
回归直线方程的三种推导方法 巴州二中母润萍
? ?n x y ? n ?(x ? x
? ? x ) ( y ? y
n y ? 1 2
? ? y ) ?
n x? ? nx y
? 1 2回归直线方程是新课改新增内容之一,在必修数学
? 1 2
i i
i ?1
? n n ?
析的方法进行了研究,书中直接给出了回归直线方程系数的公式,在选修2-3 中给出了回归直线方程的
截距和斜率的最小二乘法估计公式的另一种形式的推导方法,根据所学知识,我总结了 3 种推导回归直
? ?n
x y ? 2nxy ? nxy ? ?n x y ? nxy ∴?n (x ? x)( y ? y) ? ?n x y ? nx y
i i i i , i i i i .
线方程的方法:
设 x 与 y 是具有线性相关关系的两个变量,且相应于样本的一组观测值的 n 个点的坐标分别是:
i ?1 i ?1
i ?1 i ?1
(x,y ),(x ,y
),(x ,y
), ,(x ,y
) ,设所求的回归方程为 y
? bx
? a , (i ? 1,2,3, ,n) .显然,上面的
二、推导:将Q 的表达式的各项先展开,再合并、变形
1 1 2 2 3 3 n n i i
各个偏差的符号有正、有负,如果将他们相加会相互抵消一部分,因此他们的和不能代表n 个点与回归
Q ? ( y
1
bx
1
? a)2 ? ( y
2
bx
2
? a)2 ? ( y
3
bx
3
? a)2 ? ? ( y
n
bx
n
? a)2
直线的整体上的接近程度,因而采用n 个偏差的平方和Q 来表示n 个点与相应直线(回归直线)在整体上的接近程度,即
?? ??
? ( y2 ? y2 ?
1 2
? ?n y2 ? 2b?n
x y ? 2a?n
y ? b2 ?n
x2 ? 2ab?n
x ? na2
i i i i i
i 合并同类项
Q = ∑(???? ? ?????)2 = ∑(???? ? ?????? ? ??)2
??=1 ??=1
i ?1 i ?1 i ?1
i ?1
i ?1
求出当Q 取最小值时的a,b 的值,就求出了回归方程.
? n y ?n x ?
???i i ?n
?
?
?
?n ?n
? na2 ? 2na ? i ?1 ? b i ?1 ? ? b2 x2 ? 2b
x y ? y2
下面给出回归方程的推导方法一:
? n n ??i
? ? i ?1 i ?1
i i i
i ?1
a,b
一、先证明两个在变形中用到的公式
? ? 以
的次数为标准整理
?n (x
? x)2
? ?n
x2 ? nx 2 x ?
? na2 ? 2na( y ? bx ) ? b2 ?n
x2 ? 2b?n
x y ??n y2
公式(一) ??i
? i ,其中 n
i i i
? ?
? i 转化为平均数 x,y
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
∵?n
(x ? x)2 ? (x
? x)2 ? (x
? x)2 ? ? (x
? x)2
? n[a ? ( y ? bx )]2 ? n( y ? bx )2 ? b2 ?n
x2 ? 2b?n
x y ? ?n y2
证明: i 1 2 n
i i i
i 配方法
i ?1
i ?1
i ?1 i ?1
? x2 ? x2 ? ? x2 ? 2nx
1 2 n n
nx 2
? n[a ? ( y ? bx )]2 ? ny 2 ? 2nbxy ? nb2 x2 ? b2 ?n
x2 ? 2b
i
?n x y ? ?n y2
i i i 展开
? (x2 ? x2 ?
? x2 ) ? 2nx 2 ? nx 2
? (x2 ? x2 ? ? x2 ) ? ?n
x2 ? nx 2
i ?1
i ?1
i ?1
1 2 n
1 2 n
i
i ?1
? n[a ? ( y ? bx )]2 ? b2 (?n x2 ? nx 2 ) ? 2b(?n x y ? nxy ) ? (?n y2 ? ny 2 )
∴?n (x ? x) ? ?n x
nx 2
i i i i
整理? ? ?
整理
ii
i
i ?1
2
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