《椭圆的标准方程》教案.docx

《椭圆的标准方程》教案 一、教材分析和学情分析 本节课是圆锥曲线的第三课时。它是在学生学习了直线和圆的方程、曲线与方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用。是本章和本节的重点内容。 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述?如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化， 渴望通过自己动手作图、观察、辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 因此，本节课关注的重点：知识上是椭圆的定义和标准方程；从学生的情感态度上，关注学生的全方位参与，特别是思维起点和思维发展点。 教学目标 根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下： ⑴知识目标：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程； ⑵能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点； ⑶情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验， 提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。 重点、难点及关键 重点：椭圆的定义和标准方程的应用； 难点：椭圆标准方程的推导； 关键：创设具体的椭圆的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。 教学方法 启发、探索 教学手段 运用多媒体和实物投影仪辅助教学 教学过程 ⒈创设情景、引入概念 首先用多媒体演示体育场的平面图及卫星围绕地球旋转的运行图，形象地给 出椭圆，然后请同学列举一些实际生活中的椭圆形的例子。 此时教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的 椭圆及其标准方程。 本环节由实际例子引入概念，使学生易于接受，同时激发出学生的求知欲， 提高学习椭圆的兴趣，也使他们的注意力集中到课堂上。 ⒉尝试探究、形成概念 教师提出问题：给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？ 让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题： 思考 1：在纸板上作图说明什么？ 思考 2：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？有哪些量没有变？ 思考 3：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化？ 指出绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 用多媒体演示从椭圆变化到圆的过程，把圆与椭圆进行类比，并得到椭圆的定义： 平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和是常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹。两个定点 F1、F2 称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M 为椭圆上的任意一点，则∣MF1∣+∣MF2∣=2 a 。 ⒊标准方程的推导 标准方程的推导是本节课的难点，在推导时应抓住“建立坐标系”和“简化方程”这两个环节。 ① 建系：给出四种建立坐标系的方法，同时教师结合建立坐标系的一般原则---使点的坐标、几何量的表达式简单化，并从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系。 ② 设点：设点 M（ x, y ）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 F（1 -c,0）、 F2（c,0） ③ 列式：依据椭圆的定义式∣MF1∣+∣MF2∣=2 a 列方程，并将其坐标化 ?x ? c?2 ? ?x ? c?2 ? y 2 ?x ? c?2 ? y 2 a④ 化简：通过移项、两次平方后得到：? a  2 ? c ? 2 x 2  a 2 y 2 ? ? a 2 a 2 ? c 2 ，为 使方程简单、对称、和谐，引入字母 b，令b 2 ? a 2 ? c 2 ，可得椭圆标准方程为 x 2 ? y 2 a 2 b 2 ? 1（ab0）。 让学生将椭圆的 x、y 轴互换，通过合理的猜想得到焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程。在学生得出椭圆的两种形式的标准方程后，请学生思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？ 通过分析可得：含 x 2 、 y 2 的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。 ⒋应用概念 例1． 判断下列椭圆的焦点的位置 ① x 2 ? y 2