图像复原第二次课 (2).pptVIP

5.4 图像的有约束最小二乘恢复 上述运算可用f(m,n)与下面的模板（掩模矩阵）进行卷积来求解。 在离散卷积的过程中，为避免交叠误差，可将p(m,n)延拓为pe(m,n)再卷积。 若f(m,n)的大小为 ,则延拓后的M、N应为: 第28页，共44页，编辑于2022年，星期六 5.4 图像的有约束最小二乘恢复 可以写成分块循环矩阵： C中的任一元素Cj是由pe(m,n)的第j行组成的 循环矩阵，即 第29页，共44页，编辑于2022年，星期六 5.4 图像的有约束最小二乘恢复 令Q=C,则有约束恢复的结果就变为: 同样可用W矩阵使C对角化，即: 式中P(u,v)是pe(m,n)的傅立叶变换。则恢复结果变为： （5.4.23） （5.4.26） 第30页，共44页，编辑于2022年，星期六 5.4 图像的有约束最小二乘恢复 上式中的各元素可写成如下形式（设M=N）： 该滤波器就称为约束最小平方滤波器 。 （5.4.26） 第31页，共44页，编辑于2022年，星期六 第1页，共44页，编辑于2022年，星期六 我们将集中讨论在均方误差最小意义下，原图像f的最佳估计，因为它是各种可能准则中最简单易行的（其他准则例如：图像g和原图像f的最大绝对误差max|f-g|最小；平均绝对误差 最小；f和g互相关为最大等等）。 第2页，共44页，编辑于2022年，星期六 由退化模型g=Hf+n，其中f,g为堆叠向量。如果关于n我们一无所知，那么我们寻找f的一个估计值 ，使 在最小二乘意义上近似于g。在无约束条件下，就是n无条件的小。这一问题等效地看为求准则函数： 为最小 第3页，共44页，编辑于2022年，星期六 （注①：若a(x),b(x) 为m维列向量，X为n维列向量，那么： 注②： ） 那么： 若H已知，则可根据上式求出 。 第4页，共44页，编辑于2022年，星期六 可以证明，对 两边分别取傅立叶变换，可以得出： 这就是逆滤波法。所以逆滤波法是无约束最小二乘法的频域解。 对 取傅立叶反变换，就可求出恢复后的图像。 第5页，共44页，编辑于2022年，星期六 （根据图像退化模型： 两边取傅立叶变换,有 由此可得： 在噪声未知和不可分离的情况下，可近似取 ) 第6页，共44页，编辑于2022年，星期六 对 ，若H(u,v)在uv平面上取零或很小，就会带来计算上的困难。 另一方面，噪声还会带来更严重的问题。 第7页，共44页，编辑于2022年，星期六 若H(u,v)在uv平面上取零或很小，N(u,v)/H(u,v)就会使恢复结果与原图像有较大的差距。实际中，H(u,v)随u，v与原点距离的增加而迅速减小，而噪声N(u,v)却一般变化缓慢。在这种情况下，恢复只能在与原点较近（接近频域中心）的范围内进行。即H(u,v)具有低通滤波的性质： 第8页，共44页，编辑于2022年，星期六 换句话说，一般情况下，逆滤波器并不正好是1/H(u,v)，而是u和v的某个函数，可记为M(u,v)。M(u,v)常称为恢复转移函数。 第9页，共44页，编辑于2022年，星期六 l第一种常见的方法是取M(u,v)为如下函数： 的选取方法是将H(u,v)为零的点除去。这种方法的缺点是恢复结果的振铃效应较为明显。 第10页，共44页，编辑于2022年，星期六 l?第二种一种改进的方法是取M(u,v)为如下函数： 其中k和d均为小于1的常数，而且d选的较小为好。 第11页，共44页，编辑于2022年，星期六 5.3 图像的无约束恢复-反向滤波法 （a） （d） （c） （b） 图5.3.1 不同滤波半径下反向滤波的结果比较 （a）直接由反向滤波恢复的图像； （b）、（c）、（d）分别为半径30、50、70的二阶Butterworth滤波器（代替理想低通滤波器）作用后的结果。 可以看到，逆滤波的结果还是不能令人满意。 第12页，共44页，编辑于2022年，星期六 3.有约束恢复方法 恢复问题的病态性与奇异性 由退化模型 可知，影响图像恢复的因素包括噪声干扰n，成像系统的传递函数H,后者包含了图像传感器中光学和电子学的影响。先抛开噪声，要恢复原图像f，需要对矩阵H求逆，即： 数学上要求这个逆阵存在并且唯一。如果H－1不存在，但还存在和f十分近似的解，这称为恢复问题的奇异性。 第13页，共44页，编辑于2022年，星期六 事