第五章名师微课三角函数中有关ω的求解（Word教参）高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（新教材新高考人教A版）.docxVIP

名师微课　三角函数中有关ω的求解 在三角函数的图象与性质中ω的求解，难度较大，求法复杂，下面给出几种ω的求法． 一、结合三角函数的单调性求解 若函数f(x)＝sin ωx(ω0)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，3)) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D　解析：令 eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx≤ eq \f(3,2)π＋2kπ(k∈Z)得 eq \f(π,2ω)＋ eq \f(2kπ,ω)≤x≤ eq \f(3π,2ω)＋ eq \f(2kπ,ω)，因为f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)≤\f(π,3)，,\f(π,2)≤\f(3π,2ω)＋\f(2kπ,ω)．))得：6k＋ eq \f(3,2)≤ω≤4k＋3.又ω0，所以k≥0，又6k＋ eq \f(3,2)4k＋3，得0≤k eq \f(3,4)，所以k＝0.即 eq \f(3,2)≤ω≤3，故选D． 二、利用三角函数的对称性求解 已知函数f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω0)的一条对称轴是x＝ eq \f(π,3)，一个对称中心为点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，则ω有(　　) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 A　解析：因为三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是 eq \f(T,4)，两条对称轴间的最短距离是 eq \f(T,2)，所以，对称中心 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))到对称轴x＝ eq \f(π,3)间的距离用周期可表示为 eq \f(π,3)－ eq \f(π,12)＝ eq \f(T,4)＋ eq \f(kT,2)(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝ eq \f(2π,ω)，所以(2k＋1) eq \f(2π,ω)＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A． 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 eq \f(T,2)，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 eq \f(T,4)，可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而研究“ω”的取值．三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，对称中心就是其图象与x轴的交点，这又说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值． 三、利用三角函数的最值求解 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． 答案：(－∞，－2]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) 解析：显然ω≠0. 若ω0，当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时， － eq \f(π,3)ω≤ωx≤ eq \f(π,4)ω， 因为函数f(x)＝2sin ωx在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2， 所以－ eq \f(π,3)ω≤－ eq \f(π,2)，解得ω≥ eq \f(3,2). 若ω0，当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时， eq \f(π,4)ω≤ωx≤－ eq \f(π,3)ω， 由题意知 eq \f(π,4)ω≤－ eq \f(π,2)，即ω≤－2. 所以ω的取值范围是(－∞，－2]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)). [类题通法] 利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．