“五步法”解决高考压轴题（2020年新高考I卷导数解答题）.docxVIP

“五步法”解决高考压轴题 2020年新高考Ⅰ卷中导数压轴题的背景于传承中有所创新，入口虽宽，但随着问题的深入思维要求逐步提升，具有较好的区分度．对试题的分析重在从问题的表征、学生应具有的数学活动经验、常规的数学视角这些方面思考．通过对试题的研究，反思几何直观能力的作用和培养方式，体会几何直观能力与数学关键能力的关联，提出在教学中要提高对几何直观能力的重视． 已知函数． （1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 审 本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，也经常考察分类讨论思想和等价转化思想. 画 对第一问的求解应该先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果. 想 对第二问，可以利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 鉴于第一种方法计算量大，处理比较困难的情况，可以利用指数对数的运算可将,利用同构的思想，构造新函数 令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围. 实 解：（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为; （2）解法一：, ，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). 解法二：等价于 , 令,上述不等式等价于, 显然为单调增函数，∴又等价于，即， 令,则 在上h’(x)0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)0,h(x)单调递减， ∴, ，∴a的取值范围是[1,+∞). 反 对于本题，试题的难点在第（2）问，这是一道已知含参不等式恒成立进而求参数范围的类型题，是函数导数压轴题中的热点问题，其通法是分离参数法或分类讨论法.但该题的参数无法分离，而利用分类讨论法，其如何分类也是个难点.虽然还可以利用同构思想来做等价变形，但难度也较大，一般同学不容易想到故而不少学生在做简单尝试之后就会凭经验果断放弃，因此笔者想借此机会，在解决完本题以后产生的另外一条思考路径。 俗话说，摸着石头过河——步步稳妥.在这类导数压轴题中，教师可以通过指导学生寻找河中的石头，让学生摸着石头过河.这个思路不仅可以为学生探明河的深浅、找到过河的方向，使学生能更加安全顺利地过河，还能在这过程中让学生从中享受到过河的乐趣，从而提高学生的解题兴趣，可以说其不失为一种好的选择.