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第二十一章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
【知识与技能】
1.认识二次函数,知道二次函数自变量的取值范围,并能熟练地列出二次函数关系式.
【过程与方法】
通过对实际问题的探索,熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围.
【情感态度与价值观】
培养学生探索新知的能力,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动地获取知识.
能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
熟练地列出二次函数关系式.
多媒体课件.
(课件展示问题)
1.什么叫函数?它有几种表示方法?
2.什么叫一次函数?(y=kx+b)自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有k≠0的条件?k值对函数性质有什么影响?
【教学说明】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念,加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件,以便与二次函数中的a进行比较.
一、思考探究,获取新知
1.函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系,我们已学过正比例函数,反比例函数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.
问题1 某水产养殖户用长40米的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,要使围成的水面的面积最大,则它的边长应是多少米?
设:围成的矩形的一边长为x米,那么,矩形水面的另一边长为(20-x)米,若面积是Sm2,则有:S=x(20-x)
问题2 有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个,如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个,问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少?
设:增加x人,这时,共有(15+x)人,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个,所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为:y=(190-10x)(15+x)
在问题1中函数的表达式可化简为:
S=-x2+20x
在问题2中函数的表达式可化简为:
y=-10x2+40x+2850
2.教师引导学生观察问题1.
问题1中的函数关系式,提出以下问题让学生思考回答;
(1)这两个函数关系式的自变量各有几个?
(2)多项式-2x2+20x和-10x2+40x+2850分别是几次多项式?
(3)这两个函数关系式有什么共同特点?
(4)你能结合一次函数的概念,给这种函数下个概念吗?
【归纳结论】表达式形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,其中x是自变量.a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项.
3.想一想,在二次函数中自变量的取值范围有什么要求呢?说出问题1、问题2中自变量的取值范围.
【归纳结论】二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,自变量x的取值范围为0<x<20.
【教学说明】学生通过实际问题的分析,列出关系式,并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概念.
二、典例精析,掌握新知
【例1】 判断下列函数是否为二次函数?如果是,指出其中常数a、b、c的值.
(1)y=1-3x2; (2)y=x(x-5);
(3)y=x-x+1; (4)y=3x(2-x)+3x2;
(5)y=; (6)y=;
(7)y=x4+2x2-1.
解:(1)、(2)是二次函数.(1)中,a=-3,b=0,c=1;(2)中,a=1,b=-5,c=0.
【例2】 当k为何值时,函数y=(k-1)+1为二次函数?
解:令k2+k=2,得k1=-2,k2=1.
当k1=-2时,k-1=-2-1=-3≠0;
当k2=1时,k-1=1-1=0.
所以当k=-2时,函数y=-3x2+1为二次函数.
【例3】 写出下列各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.
(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系式;
(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式;
(3)菱形的两条对角线长的和为26 cm,求菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式.
解:(1)S=6a2,是二次函数;(2)y=,是二次函数;(3)S=x(26-x),是二次函数.
三、运用新知,深化理解
1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)( A )
【分析】紧抓二次函数的概念.
2.m取哪些值时,函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数?
【分析】若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数,须满足的条件是:m2-m≠0.
解:若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数,则m2-m≠0.
解得m≠0且m≠1.
因此,当m≠0且m≠1时,
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