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课题：拓扑学（下） 【教学目标】了解拓扑学的发展史和有趣概念 【教学重点】拓扑学中的几个典型概念 【教学过程】 等价 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概 念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下， 它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的从拓扑学的角度 看，它们的拓扑结构是完全一样的。 而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈 中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所 代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。 莫比乌斯环（只有一个面） 性质 “连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通 的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲 面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。 而德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。 这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌斯曲面是一种“不可定向 的”空间。可定向性是一种拓扑性质。这意味着，不可能把一个不可 定向的空间连续的变换成一个可定向的空间。 发展简史 萌芽 拓扑学起初叫形势分析学，这是德国数学家莱布尼茨1679年提 出的名词。欧拉在1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公 式；高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线 的环绕数。Topology这个词是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊 文τόπος和λόγος （“位置”和“研究”）。这是拓扑学的萌芽阶段。 1851年，德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的 几何概念，并且强调为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析 学。黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。 组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。他是在分析学和力学 的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的 研究中，引向拓扑学问题的。他的主要兴趣在流形。在1895～1904 年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量： 基本群、同调、贝蒂数、挠系数，探讨了三维流形的拓扑分类问题， 提出了著名的庞加莱猜想。 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。实数的严格定义推动康托 尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓 扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点 集论的思想影响下，分析学中出现了泛函（即函数的函数）的观念， 把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间 的观念。 点集拓扑 最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷 歇。他在1906年引进了度量空间的概念。 F.豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中用开 邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着 用公理化方法研究连续性的一般拓扑学 的产生。随后波兰学派和苏联学派对拓扑 空间的基本性质（分离性、紧性、连通性 等）做了系统的研究。经过20世纪30年 拓扑学著 代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一 般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。 欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已 发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的 一部分。50年代以来，即问两个映射，以R.H.宾为代表的美国学派 的工作加深了对流形的认识，是问两个给定的映射是否同伦，在四维 庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统 的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。 代数拓扑 L.E.J.布劳威尔在1910～1912年间提出了用单纯映射逼近连续映 射的方法， 许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不 同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分 类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方 面达到了应有的标准。紧接着，J.W.亚历山大1915年证明了贝蒂数 与挠系数的拓扑不变性。 随着抽象代数学的兴起，1925年左右A.E.诺特提议把组合拓扑 学建立在群论的基础上，在她的影响下H.霍普夫1928年定义了同调 群。从此组合拓扑