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2022年高考数学尖子生强基计划专题4:函数的性质
一、知识要点拓展
1、映射
对于任意两个集合,依对应法则,若对中的任意一个元素在中都有唯一一个元素与之对应,则称为一个映射,记作其中称为像,称为原像。
如果是一个映射且对任意都有则是到上称之为单射.
如果是映射且对任意都有一个使得则称是到上的满射.
如果既是单射又是满射,则是到上叫做一一映射.
如果是从集合到集合上的一一映射,并且对于中每一个元素,使在中的原像和它对应,这样所得的映射叫做的逆映射,记作
2、函数方程问题
(1)代换法(或换元法)
把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化),得到一个新的函数方程,然后设法求得位置函数
例.设求的解. (【解析】分别用带入)
(2)待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时,可待定系数而求解.
例.已知是一次函数,且,求. (【解析】设求解)
3、函数的性质
设函数的定义域为
单调性:
传统定义:在区间上,若,如果,则在区间递增;如果,则在区间递减;
导数定义:在区间上,如果,则在区间递增;如果
,则在区间递减;
注意:
2.复合函数的单调性:
增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数
增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数
对于取值恒为非负数的函数
增函数×增函数=增函数 减函数×减函数=减函数
增函数÷减函数=增函数 减函数÷增函数=减函数
若、都是增(减)函数,则为增函数;
若、一个增函数,一个减函数,则为减函数。简称“同增异减”
3.奇偶性:
若函数满足(),则叫做奇函数,其图象关于原点对称;
若函数满足(),则叫做偶函数,其图象关于轴对称;
4.周期性:
(1)一般地,对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当取定义域内的每一个值时,都有
,那么函数就叫做周期函数。非零常数叫做这个函数的周期。
(2)对于非零常数,若函数满足,则函数必有一个周期为。
证明:,所以函数的一个周期为。
(3)对于非零常数,函数满足,则函数的一个周期为。
(4)对于非零常数,函数满足,则函数的一个周期为。
5.对称性(分函数图像的自对称及函数图像的互对称)
(1)函数满足时,函数的图像关于直线对称。特别的,时,该函数为偶函数。
证明:在函数上任取一点,则,点关于直线的对称点为。,故点也在函数的图像上。由于点是图像上任意一点,因此,函数的图像关于直线对称。
函数满足时,函数的图像关于点对称。特别地,当时,函数为奇函数。
证明:在函数上任取一点,则,点关于点的对称点为
。,即点在的图像上。由于点是函数上任意一点,因此,函数关于点对称。
函数的图像与的图像关于直线对称。
证明:在函数上任取一点,则,点关于直线对称的点为。由于,故点在函数上。由于点是上任意一点,因此与关于直线对称。
6.函数周期性和对称性之间的联系
设是定义在上的函数,其图像关于直线和对称,则是周期函数,且是它的一个周期。
证明:关于直线和对称,故,从而
。
将上式的以代换,得。
所以
即是上的周期函数,且是它的一个周期。
(2)设是定义在上的函数,其图像关于点中心对称,且其图像关于直线对称,则函数是周期函数,且是它的一个周期。
证明:关于点对称,故,关于直线对称,故
,从而有。
将上式中的以代换,得。
所以
,
即是上的周期函数,且是它的一个周期。
(3)设是定义在上的函数,其图像关于点和()对称,则是周期函数,且是它的一个周期。
证明:关于点和()对称,故,
,,从而有。
将上式中的由替换,得
所以,
即是周期函数,且是它的一个周期。
4.抽象函数问题的解法
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如给出函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是与高等数学函数部分的一个衔接点。由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此研究起来比较困难。但由于此类试题既能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐。那么,怎样求解抽象函数问题呢?我们可以利用函数性质法、特殊化方法等多种方法从多角度、多层面去分析研究抽象函数问题。
函数性质法
函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性等)反映出来的。抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活地进行等价转化,才能将抽象函数问题化难为易。常用的方法有:①利用奇偶性整体思考;②利用单调性等价转化;③利用周围性回归已知;④利
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