专题9：等差、等比数列及数列求和【原卷版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义.docx

2022年高考数学尖子生强基计划专题9等差、等比数列与数列求和 真题特点分析： 1.【2020复旦大学6】_________． 【2021年清华】有限项等差数列公差为4，第二项起各项的和加首项的平方小于，则该数列最多可有________项． 3．若数列满足，求． 二、知识要点拓展 等差数列： 1.通项公式：； 2.前项和公式：. 等比数列： 1.通项公式：； 2.前项和公式：或 . 数列的通项公式与前项的和的关系：(为数列的前项的和为). 常见数列的前项和公式： 一．等差数列的主要判定方法： ①（为常数）； ②（）； ③（为常数）； ④（为常数）。 二．等差数列的主要性质： ①或（是公差）； ②若，且，则。注意，反之不一定成立； ③数列（是常数）是公差为的等差数列； ④下标成等差数列，且公差为的项组成的数列仍然为等差数列，且公差为。 三．等比数列的判定方法： ①（是不为0的常数）； ②（均为不为0的常数）； ③（且均不为0）。 四．等比数列的性质： ①（为公比）； ②若，则（）； ③每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列。 五．数列求和方法： 1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论） 2.公式法：（见常见数列的前项和公式） 3.错位相减法：比如 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： ① ； ② ③ ④ 分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和； 6.合并求和法：如求的和； 7.倒序相加法：如等差数列的前项和公司的推导，有时关于组合数的求和问题，也常用到该方法； 8.其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等。 ?备注：在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn． 六．第二数学归纳法： ①先证时命题成立；假设时命题成立，再证明时命题也成立（有时称之为跨度为2的数学归纳法）。 ②当时，命题成立；假设对一切小于的正整数命题成立，能够推出（证明）时命题也成立。 以上两种都是第二数学归纳法。 七．主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 三、典例精讲 例1．（清华）已知，其前项和为，求。 例2．（复旦）设有4个数的数列为，前3个数构成一个等比数列，其和为，后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零。对于任意固定的，若满足条件的数列的个数大于1，则应满足（ ） （B） （C） （D）其他条件 例3．（复旦）已知数列满足：，且是公比为2的等比数列，则（ ）。 （B） （C） （D） 例4．（上海交大）已知等差数列的首项为，公差为；等比数列的首项为，公比为，，其中均为正整数，且。 求的值； 若对于、，存在关系式，求； 对于满足（2）中关系式的，求。 例5．在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列 成等比数列，求数列的通项． 例6．（北京卷) 下表给出一个“等差数阵”： 4 7 （ ） （ ） （ ） … …… 7 12 （ ） （ ） （ ） … …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … …… …… …… …… …… …… … …… …… … …… …… …… …… …… …… … …… …… 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数． （I）写出的值； （II）写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置． （III）证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积． 例7．(全国卷) 已知数列的前项和满足：，. (1)写出求数列的前3项； (2)求数列的通项公式； (3)证明：对任意的整数，有. 例8．设为等差数列，为等比数列，且，试求的首项与公差． 例9．（复旦）设数列满足，其前项乘积，其中是大于1的常数（）。 求证：是等比数列； 求中所有不同两项的乘积之和。 例10．（复旦）设为一个正整数，记，则是的一个多项式。下面结论正确的是（ ） 的最高项系数为1 （B）的常数项系数为-3 （C）是的1个4此多项式 （D）的4此项系数为 四、真题训练 1.（复旦）等差数列中