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专题训练10 勾股定理与分类讨论及方程思想
一、选择题.
1.若一个三角形的三边长为6,8,x,则此三角形是直角三角形时,x的值是( )
A.8 B.10 C.27 D.10或27
【分析】根据勾股定理的逆定理进行解答即可.
【解析】∵一个三角形的两边长分别为6、8,
∴可设第三边为x,
∵此三角形是直角三角形,
∴当x是斜边时,x2=62+82,解得x=10;
当8是斜边时,x2+62=82,解得x=27.
故选:D.
2.已知一个三角形的三边长分别为4,5,x,且此三角形是直角三角形,则x的值为( )
A.41 B.3 C.3或41 D.以上都不对
【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定,故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论.
【解析】∵这个直角三角形的三边长分别为4,5,x,
∴①当5是此直角三角形的斜边时,由勾股定理得到:x=5
②当5是此直角三角形的直角边时,设斜边为x,则由勾股定理得到:x=5
故选:C.
3.直角三角形的两条边长为5和12,它的斜边长为( )
A.13 B.119 C.13或119 D.13或12
【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边,所以应该分两种情况进行分析.一种是两边均为直角边;另一种是较长的边是斜边,根据勾股定理可得出结论.
【解析】当12是直角边时,斜边长=5
故它的斜边长为13或12.
故选:D.
4.丽丽想知道学校旗杆的高,她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米,当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为( )
A.4米 B.8米 C.10米 D.12米
【分析】据题意设旗杆的高为xm,则绳子的长为(x+2)m,再利用勾股定理即可求得绳子的长,即旗杆的高.
【解析】设旗杆的高为xm,则绳子的长为(x+2)m.
根据题意得:
x2+62=(x+2)2,
解得x=8.
故旗杆的高为8米.
故选:B.
5.如图,有一个水池,水面是一边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度为( )尺.
A.10 B.12 C.13 D.14
【分析】找到题中的直角三角形,设水深为x尺,根据勾股定理解答.
【解析】设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,
根据勾股定理得:x2+(102)2=(x+1)2
解得:x=12,
芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺),
答:芦苇长13尺.
故选:C.
6.如图,某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳,让它垂到地面时比墙高多出了2米,教练把绳子的下端拉开8米后,发现其下端刚好接触地面(如图),则此攀岩墙的高度是( )
A.10米 B.15米 C.16米 D.17米
【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米,则绳子AC的长为(x+2)米,再利用勾股定理即可求得AB的长,即攀岩墙的高.
【解析】如图:设攀岩墙的高AB为x米,则绳子AC的长为(x+2)米,
在Rt△ABC中,BC=8米,
AB2+BC2=AC2,
∴x2+82=(x+2)2,
解得x=15,
∴AB=15.
∴攀岩墙的高15米.
故选:B.
7.古代数学的“折竹抵地”问题:“今有竹高二十五尺,末折抵地,去本五尺,问折者高几何?”意思是:现有竹子高25尺,折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺,问折处高几尺?即:如图,AB+AC=25尺,BC=5尺,则AC等于( )尺.
A.5 B.10 C.12 D.13
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形,设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(25﹣x)尺,利用勾股定理解题即可.
【解析】设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(25﹣x)尺,
根据勾股定理得:x2+52=(25﹣x)2.
解得:x=12,
答:折断处离地面的高度为12尺.
故选:C.
8.如图,高速公路上有A、B两点相距10km,C、D为两村庄,已知DA=4km,CB=6km.DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个服务站E,使得C、D两村庄到E站的距离相等,则EB的长是( )km
A.4 B.5 C.6 D.20
【分析】根据题意设出BE的长为xkm,再由勾股定理列出方程求解即可.
【解析】设BE=x,则AE=(10﹣x)km,
由勾股定理得:
在Rt△ADE中,
DE2=AD2+AE2=42+(10﹣x)2,
在Rt△BCE中,
CE2=BC2+BE2=62+x2,
由题意可知:DE=CE,
所以:62+x2=42+(10﹣x)2,
解得:x=4km.
所以,EB的长是4km.
故选:A.
二、填空题.
9.在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果,一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计
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