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第 7 讲 角平分线的判定与性质
【知识点与方法梳理】
角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。
角平分线的作法(尺规作图)
①以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,交 OA 、OB 于 C、D 两点;
②分别以 C、D 为圆心,大于 CD 长为半径画弧,两弧交于点 P;
③过点 P 作射线 OP,射线 OP 即为所求.
角平分线的性质及判定
1.角平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
推导
已知: OC 平分∠ MON ,P 是 OC 上任意一点, PA⊥OM ,PB⊥ON ,垂足分别为点 A 、点 B .
求证: PA =PB.
证明: ∵PA ⊥OM ,PB⊥ON
∴∠PAO =∠PBO=90 °
∵OC 平分∠ MON
∴∠1=∠2
在△ PAO 和△ PBO 中,
∴△PAO≌△PBO
∴PA =PB
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几何表达: (角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
∵OP 平分∠ MON (∠1=∠2),PA ⊥OM ,PB⊥ON ,
∴PA =PB.
2 角平分线的判定 :到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
推导:
已知:点 P 是∠ MON 内一点, PA ⊥OM 于 A ,PB⊥ON 于 B,且 PA =PB.
求证:点 P 在∠ MON 的平分线上.
证明: 连结 OP
在 Rt △PAO 和 Rt △PBO 中,
∴Rt△ PAO≌Rt △PBO (HL )
∴∠1=∠2
∴OP 平分∠ MON
即点 P 在∠ MON 的平分线上.
几何表达: (到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.)
∵PA ⊥OM ,PB⊥ON ,PA=PB
∴∠1=∠2 (OP 平分∠ MON )
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【经典例题】
例 1.已知:如图,△ ABC 中, ∠C=90°,AD 是△ABC 的角平分线, DE ⊥AB 于 E,F 在 AC
上 BD=DF ,
求证: CF=EB
A
F E
C D B
例 2. 已知:如图, AD 、BE 是△ABC 的两条角平分线, AD 、BE 相交于 O 点
求证: O 在∠ C 的平分线上 A
G
E
N
O
B D M C
例 3.如图 AB ∥CD ,∠ B =90°, E 是 BC 的中点。 DE 平分∠ ADC ,
求证: AE 平分∠ DAB 。 C
D
E
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