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《7.1 复数的概念》知识梳理
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a+bi(a∈R,b∈R)的数叫复数,其中实部为a,虚部为b
若b=0,则a+bi为实数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数
复数相等
a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R)
共轭复数
a+bi与c+di共轭?a=c且b=-d(a,b,c,d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫实轴,y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z=a+bi,则向量的长度叫做复数z=a+bi的模
|z|=|a+bi|=
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的,即
(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量.
《7.1 复数的概念》同步测试
注意事项:
本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、单选题
1.复数满足,则在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】设复数,
由得,
所以,解得,
因为时,不能满足,舍去;
故,所以,其对应的点位于第二象限,故选:B.
2.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是,,则( )
A. B. C.2 D.8
【答案】B
【解析】由图象可知,,则,
故.故选:B.
3.设复数(其中,为虚数单位),则“”是“为纯虚数”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若复数是纯虚数,则,,
则不能证得为纯虚数,为纯虚数可以证得,
故“”是“为纯虚数”的必要非充分条件,故选:B.
4.已知,若(i为虚数单位),则a的取值范围是( )
A.或 B.或 C. D.
【答案】A
【解析】因为,,所以,,
所以或.故选:A
5.复数z满足,则的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
【答案】D
【解析】由复数的几何意义知,即复数z是以为圆心,半径为1的圆上的点,
而表示复数z表示的动点与原点之间的距离,结合图象,易见的最大值为2,
故选:D.
6.设复数,它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上,且有,则( )
A. B.0 C.1 D.2
【答案】C
【解析】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上,∴,又,∴,
∴.故选:C.
7.对于给定的复数,若满足的复数对应的点的轨迹是圆,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】满足的复数对应的点的轨迹是圆,圆心对应的复数是,半径为2,
表示点到1对应的点的距离,又,
∴,故选:A.
8.已知i为虚数单位,复数,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】由
即复数,
所以复数对应的点为位于第二象限.故选:B
二、多选题
9.已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为,复数z满足,下列结论正确的是( )
A.点的坐标为
B.复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称
C.复数z对应的点Z在一条直线上
D.与z对应的点Z间的距离的最小值为
【答案】ACD
【解析】复数在复平面内对应的点为,A正确;
复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称,B错误;
设,代入,得,即,整理得,;即Z点在直线上,C正确;
易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为,故D正确.故选:ACD
10.已知复数(其中为虚数单位),则( )
A.复数在复平面上对应的点可能落在第二象限
B.可能为实数
C.
D.的实部为
【答案】BC
【解析】因为,所以,所以,所以,所以A选项错误;
当,时,复数是实数,故B选项正确;
,故C选项正确:
,的实部是,故D不正确.故选:BC
11.已知复数(其中为虚数单位),则以下说法正确的有( )
A.复数的虚部为 B.
C.复数的共轭复数 D.复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BCD
【解析】因为复数,
所以其虚部为,即A错误;
,故B正确;
复数的共轭复数,故C正确;
复数在复平面内对应的点为,显然位于第一象限,故D正确.故选:BCD.
12.已知,为复数,下列命题不正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若
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